• Différents types de suites : explicites, récurrentes, implicites,…
• Question : est-ce qu'une suite est bien définie ?
• Exemples de récurrences, doubles et fortes
• Suites monotones, majorées, minorées, bornées
• Suites convergentes, divergentes
• Théorème de la limite monotone
• Suites adjacentes : définition et théorème
• Exemple : convergence de
• Suites arithmétiques : définition, forme explicite, somme de termes
• Suites géométriques : définition, forme explicite, somme de termes
• Suites arithmético-géométriques : méthode pour la forme explicite

II - Compléments

• Suites récurrentes linéaires doubles.
• Equation caractéristique. Ecriture en fonction du signe de Delta. Exemples.

1) Suites récurrentes linéaires doubles

• Suites récurrentes linéaires doubles.
• Exemple dans le cas où .

2) Manipulation des

• Retour sur les définitions de convergence avec les
• Théorème de Cesàro : démonstration

3) Suites récurrentes du type

• Recherche d'intervalles stables : suites bien définies
• Points fixes, liens avec la convergence
• Représentation graphique : escalier ou escargot
• Lorsque f est croissante, la suite est monotone
• Lorsque f est décroissante, étude des suites extraites

4) Sommes de Riemann

• Subdivision régulière d'un segment en n segments
• Sommes de Riemann à gauche et à droite
• Convergence dans le cas où la fonction est continue
• Exemples

• Expérience aléatoire, issues, univers
• Evénements associés, notation

I - Espace probabilisé général

• Notion de tribu associée à un ensemble
• Exemples avec des lancers de dé
• Espaces probabilisables, et espaces probabilisés
• Evénements négligeables, presque sûr
• Intersection infinie ou réunion infinie d'événements
• Suites croissantes et décroissantes d'événements
• Théorème de la limite monotone

• Loi de probabilité sur un univers fini ou infini
• Situation d'équiprobabilité

II - Conditionnement et indépendance

• Probabibilité de A sachant B, propriétés
• Formule des probabilités composées
• Systèmes complets d'événements, systèmes quasi-complets
• Formule des probabilités totales
• Formule de Bayes
• Evenements indépendants, 2 à 2, mutuellement.

• Définition d'une variable aléatoire dans un espace probabilisable.
• Exemples de variables aléatoires : définies ou non.
• Variables aléatoires discrètes, finies ou infinies.
• Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Exemples.
• Toute loi de probabilité est la loi d'une VARD sur un espace probabilisé
• Fonction d'une VARD. Exemple.
• Fonction de répartition. Définition et exemple.

• Fonction de répartition. Propriétés.
• Formule
• Exemple : maximum de deux tirages avec remise dans une urne

II - Moments d'une variable aléatoire

• Espérance d'une variable finie
• Espérance d'une variable infinie : problème de convergence absolue
• Exemples : variable finie, variables infinies avec ou sans espérance
• Propriétés : espérance de aX+b. Inégalité triangulaire.
• Théorème de transfert. Exemples d'applications.
• Variable centrée associée à une variable aléatoire admettant une espérance.
• Moment d'ordre k d'une variable aléatoire, moment centré d'ordre k d'une variable aléatoire
• Si X admet un moment d'ordre k, alors X admet des moments d'ordre k-1,k-2,…,2,1.
• Variance et écart-type d'une variable aléatoire. Interprétation.

• Propriétés de la variance. Variable de aX+b.
• Cas où la variance est nulle. Interprétation.
• Formule de König-Huygens.

III - Lois usuelles

• Loi uniforme sur {1,2,…,n}. Définition. Modèle. Espérance et variance.
• Loi de Bernoulli B(p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
• Loi binomiale B(n,p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
• Loi géométrique G(p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
• Loi de Poisson P(lambda). Interprétation. Espérance et variance.

• Définitions : variables indépendantes (2 variables ou suite de variables)
• Etude d'une somme de variables discrètes indépendantes
• Rappels sur maximum et minimum.
• Traductions de max(a,b) < c, max(a,b) > c, min(a,b) < c, min(a,b) >c
• Définition : inf(X,Y) ou sup(X,Y). Méthode d'étude
• Exemple : inf(X,Y) avec X,Y géométriques indépendantes