Outils pour utilisateurs

Outils du site


mat913:cdt1415

Cahier de textes - 913 - 2014/2015

Septembre/Octobre 2014

Mardi 02/09
14h-16h

COURS

CHAPITRE 1 - Suites de réels - Rappels et compléments
I - Rappels
  • Différents types de suites : explicites, récurrentes, implicites,…
  • Question : est-ce qu'une suite est bien définie ?
  • Exemples de récurrences, doubles et fortes
  • Suites monotones, majorées, minorées, bornées
  • Suites convergentes, divergentes
  • Théorème de la limite monotone
  • Suites adjacentes : définition et théorème
  • Exemple : convergence de tex:\sum \frac{(-1)^n}{n}
  • Suites arithmétiques : définition, forme explicite, somme de termes
  • Suites géométriques : définition, forme explicite, somme de termes
  • Suites arithmético-géométriques : méthode pour la forme explicite

II - Compléments

  • Suites récurrentes linéaires doubles.
  • Equation caractéristique. Ecriture en fonction du signe de Delta. Exemples.
Cours Chapitre 1
Cours Chapitre 2
DM1 pour le 08/09
Mercredi 03/09
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 01 - Suites de réels
  • Une suite récurrente linéaire double
  • Une suite récurrente du type tex:u_{n+1}=f(u_n)
  • Une suite implicite
Exos soutien 01
Corrigé des exercices du soutien 01
Jeudi 04/09
08h-10h

COURS

CHAPITRE 1 - Suites de réels - Rappels et compléments
II - Compléments

1) Suites récurrentes linéaires doubles

  • Suites récurrentes linéaires doubles.
  • Exemple dans le cas où tex:\Delta < 0.

2) Manipulation des tex:\varepsilon

  • Retour sur les définitions de convergence avec les tex:\varepsilon
  • Théorème de Cesàro : démonstration

3) Suites récurrentes du type tex:u_{n+1}=f(u_n)

  • Recherche d'intervalles stables : suites bien définies
  • Points fixes, liens avec la convergence
  • Représentation graphique : escalier ou escargot
  • Lorsque f est croissante, la suite est monotone
  • Lorsque f est décroissante, étude des suites extraites

4) Sommes de Riemann

  • Subdivision régulière d'un segment en n segments
  • Sommes de Riemann à gauche et à droite
  • Convergence dans le cas où la fonction est continue
  • Exemples

TD

Exos chapitre 1
  • Exercice 01.9 (a)
Feuille TD 1 - Suites numériques
Programme de khôlle 1
Khôlloscope (v2)
Lundi 08/09
14h-18h

TD

Exos chapitre 1
  • Exercices 01.2, 01.3, 01.4, 01.6, 01.7
Correction DM1
Mardi 09/09
08h-10h

TD

Exos chapitre 1
  • Exercices 01.9 (3)

TD

Exos chapitre 2
  • Exercices 02.1 (1,2,4), 02.2, 02.3, 02.4
Feuille TD 2 - Convergence des séries
DM2 pour le 15/09
Mercredi 10/09
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 02 - Suites et séries
  • Suites et séries télescopiques
  • Une suite définie par une intégrale
  • Des calculs de sommes de séries
Exos soutien 02
Corrigé des exercices du soutien 02
Jeudi 11/09
08h-10h

TD

Exos chapitre 2
  • Exercices 02.4, 02.5, 02.6, 02.7, 02.8
Fonctionnement des khôlles de type Ulm
Samedi 13/09
08h-12h

DEVOIRS

Devoir Surveillé 01
  • Suites et séries : 3 exos et 1 problème
DS01
Lundi 15/09
14h-18h

COURS

CHAPITRE 3 - Espaces probabilisés
0 - Rappel du vocabulaire
  • Expérience aléatoire, issues, univers
  • Evénements associés, notation tex:\mathcal{P}(\Omega)

I - Espace probabilisé général

  • Notion de tribu associée à un ensemble
  • Exemples avec des lancers de dé
  • Espaces probabilisables, et espaces probabilisés
  • Evénements négligeables, presque sûr
  • Intersection infinie ou réunion infinie d'événements
  • Suites croissantes et décroissantes d'événements
  • Théorème de la limite monotone

TD

Exos chapitre 3
  • Exercice 03.1
Cours Chapitre 3
Feuille TD 3 - Espaces probabilisés
Correction DM2
Mardi 16/09
14h-16h

COURS

CHAPITRE 3 - Espaces probabilisés
  • Loi de probabilité sur un univers fini ou infini
  • Situation d'équiprobabilité

II - Conditionnement et indépendance

  • Probabibilité de A sachant B, propriétés
  • Formule des probabilités composées
  • Systèmes complets d'événements, systèmes quasi-complets
  • Formule des probabilités totales
  • Formule de Bayes
  • Evenements indépendants, 2 à 2, mutuellement.

TD

Exos chapitre 3
  • Exercices 03.2, 03.3, 03.4
Mercredi 17/09
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 03 - Espaces probabilisés
  • Formule des probas totales, formule de Bayes
  • Travail sur les événements.
Exos soutien 03
Corrigé des exercices du soutien 03
Jeudi 18/09
08h-10h

TD

Exos chapitre 3
  • Exercices 03.5, 03.6, 03.7
DM3 pour le 22/09
Distribution codes visiocolle
Lundi 22/09
14h-18h

COURS

CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes
I - VARD
  • Définition d'une variable aléatoire dans un espace probabilisable.
  • Exemples de variables aléatoires : définies ou non.
  • Variables aléatoires discrètes, finies ou infinies.
  • Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Exemples.
  • Toute loi de probabilité est la loi d'une VARD sur un espace probabilisé
  • Fonction d'une VARD. Exemple.
  • Fonction de répartition. Définition et exemple.
Cours Chapitre 4
Correction DM3
Correction DS1
Fonctionnement Khôlles type Ulm
Fonctionnement Khôlles type Cachan
Mardi 23/09
14h-16h

COURS

CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes
I - VARD
  • Fonction de répartition. Propriétés.
  • Formule tex:P(X=x_k) = F(x_k) - F(X_{k-1})
  • Exemple : maximum de deux tirages avec remise dans une urne

II - Moments d'une variable aléatoire

  • Espérance d'une variable finie
  • Espérance d'une variable infinie : problème de convergence absolue
  • Exemples : variable finie, variables infinies avec ou sans espérance
  • Propriétés : espérance de aX+b. Inégalité triangulaire.
  • Théorème de transfert. Exemples d'applications.
  • Variable centrée associée à une variable aléatoire admettant une espérance.
  • Moment d'ordre k d'une variable aléatoire, moment centré d'ordre k d'une variable aléatoire
  • Si X admet un moment d'ordre k, alors X admet des moments d'ordre k-1,k-2,…,2,1.
  • Variance et écart-type d'une variable aléatoire. Interprétation.
Mercredi 24/09
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 04 - Espaces probabilisés - Variables aléatoires discrètes
  • Calculs de sommes de séries
  • Déterminer la loi d'une variable aléatoire
  • Regarder si une variable aléatoire admet une espérance
Exos soutien 04
Corrigé des exercices du soutien 04
Jeudi 25/09
08h-10h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.1, 04.2, 04.3, 04.6, 04.8
TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 1)
DM04 pour le 29/09
Lundi 29/09
14h-18h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.7, 04.9, 04.18
TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 2)
Mardi 30/09
14h-16h

COURS

CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes
II - Moments d'une variable aléatoire
  • Propriétés de la variance. Variable de aX+b.
  • Cas où la variance est nulle. Interprétation.
  • Formule de König-Huygens.

III - Lois usuelles

  • Loi uniforme sur {1,2,…,n}. Définition. Modèle. Espérance et variance.
  • Loi de Bernoulli B(p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
  • Loi binomiale B(n,p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
  • Loi géométrique G(p). Définition. Modèle. Espérance et variance.
  • Loi de Poisson P(lambda). Interprétation. Espérance et variance.
Correction DM04
Mercredi 01/10
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 05 - Variables aléatoires discrètes - Lois usuelles
  • Déterminer la loi d'une variable aléatoire
  • Reconnaître une loi binomiale, géométrique.
Exos soutien 05
Corrigé des exercices du soutien 05
Jeudi 02/10
08h-10h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.10, 04.11, 04.12, 04.13, 04.16, 04.20 (1)
DM05 pour le 07/10
Lundi 06/10
14h-18h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.14, 04.15, 04.17, 04.19, 04.20 (2), 04.21
Mardi 07/10
14h-16h

COURS

CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes
IV - Variables aléatoires discrètes indépendantes
  • Définitions : variables indépendantes (2 variables ou suite de variables)
  • Etude d'une somme de variables discrètes indépendantes
  • Rappels sur maximum et minimum.
  • Traductions de max(a,b) < c, max(a,b) > c, min(a,b) < c, min(a,b) >c
  • Définition : inf(X,Y) ou sup(X,Y). Méthode d'étude
  • Exemple : inf(X,Y) avec X,Y géométriques indépendantes

V - Couples de variables aléatoires discrètes

  • Loi conjointe d'un couple de variables aléatoire
  • Exemples (variables finies et infinies).

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.22
Correction DM5
Jeudi 09/10
08h-10h

DEVOIRS

Devoir Surveillé 02
  • Variables aléatoires réelles discrètes : 3 exos
DS02
Lundi 13/10
12h-13h et 15h-16h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.23, 04.26, 04.30
TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 3)
DM06 pour le 16/10
Mardi 14/10
14h-16h

COURS

CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes
V - Couples de variables aléatoires discrètes
  • Lois marginales d'un couple : formule des probabilités totales
  • Lecture sur le tableau de la loi conjointe
  • Lois conditionnelles de X sachant (Y=j), de Y sachant (X=i)
  • Liens entre les différentes lois
  • Espérance d'une variable du type g(X,Y) : théorème de transfert
  • Application : linéarité de l'espérance.
  • Lorsque les variables sont indépendantes, E(XY)=E(X)E(Y)

VI - Covariance et corrélation linéaire

  • Définition de la covariance. Formule de Huygens
  • Propriétés : bilinéarité.
  • Lien avec l'indépendance. Variables non corrélées linéairement
  • Coefficient de corrélation linéaire : propriétés et interprétation

TD

Exos chapitre 4
  • Exercice 04.24
Mercredi 15/10
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 06 - Variables aléatoires discrètes - Couples de variables aléatoires
  • Déterminer une loi conjointe
  • En déduire les lois marginales
Exos soutien 06
Corrigé des exercices du soutien 06
Jeudi 16/10
08h-10h

TD

Exos chapitre 4
  • Exercices 04.25, 04.27, 04.29
Correction DM06
Correction DS2

Novembre/Décembre 2014

Lundi 03/11
08h-12h

DEVOIRS

Devoir Surveillé 03 - Concours Blanc 1
DS03 - Concours Blanc 1
Lundi 10/11
14h-18h

COURS

CHAPITRE 5 - Calcul matriciel
I - L'ensemble M_{n,p}(K)
  • Structure d'espace vectoriel
  • Addition, multiplication par un scalaire

TD

Exos chapitre 5
  • Exercices 05.01, 05.02, 05.03
Cours Chapitre 5
TD05-Matrices
DM07 pour le 14/11
Mercredi 13/11
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 07 - Calcul matriciel
  • Résolution de systèmes, écritures en Vect
  • Matrices inversibles
Exos soutien 07
Corrigé des exercices du soutien 07
Jeudi 14/11
08h-10h

COURS

CHAPITRE 5 - Calcul matriciel
  • Base canonique de M_{n,p}(K). Dimension de M_{n,p}(K)
  • Produit de matrices. Puissances, polynôme d'une matrice.
  • Transposée d'une matrice

II - Images, noyaux, rangs

  • Image d'une matrice : c'est le Vect des colonnes
  • Rang d'une matrice : dimension de l'image
  • Noyau d'une matrice. Lien avec les colonnes de la matrices
  • Théorème du rang.

TD

Exos chapitre 5
  • Exercices 05.04
Vendredi 14/11
13h-15h

COURS

CHAPITRE 5 - Calcul matriciel
III - Matrices inversibles
  • Définition d'une matrice inversible
  • Lien avec les systèmes linéaires
  • Une matrice est inversible ssi les colonnes forment une base
  • Une matrice est inversible ssi Ker={0} ssi rg(A)=n
  • Opérations élémentaires sur les lignes. Interprétation.
  • Matrices équivalentes. Elles ont le même rang.
  • Méthode de Gauss-Jordan pour déterminer l'inverse d'une matrice
  • Toute matrice est équivalente à J_{n,p,r}. A et sa transposée ont le même rang.
  • Interprétation sur les lignes de la matrice.
  • Matrices de taille 2. Matrices diagonales, triangulaires.
  • Matrices ayant un polynôme annulateur. Toute matrice admet un pol annulateur.

TD

Exos chapitre 5
  • Exercices 05.04
Correction DM07
DM08 pour le 18/11
Lundi 17/11
14h-18h

COURS

CHAPITRE 5 - Calcul matriciel
IV - Elements propres d'une matrice
  • Valeurs propres d'une matrice : A- lambda I non inversible
  • Vecteurs propres d'une matrice, sous-espaces propres d'une matrice
  • Différentes écritures de “lambda est une valeur propre de A”
  • Cas particulier : matrices triangulaires ou diagonales
  • Cas particulier : matrices ayant un polynôme annulateur

TD

Exos chapitre 5
  • Exercices 05.04, 05.05, 05.06 (début)
Mardi 18/11
14h-16h

COURS

CHAPITRE 5 - Calcul matriciel
IV - Elements propres d'une matrice
  • Les sous-espaces propres sont en somme directe
  • Conséquence sur la somme des dimensions
  • Matrices semblables, matrices diagonalisables
  • CNS de diagonalisabilité : somme des dimensions
  • CS de diagonalisabilité : si A admet n valeurs propres distinctes
  • CS de diagonalisabilité : Si A admet une unique valeur propre

TD

Exos chapitre 5
  • Exercice 05.06
Correction DS3(cb1) Grille DS3
Correction DM08
Mercredi 19/11
16h-18h

SOUTIEN

Soutien 08 - Diagonalisation de matrices
  • Recherche de valeurs propres
  • Savoir si une matrice est diagonalisable
  • Utilisation de polynômes annulateurs
Exos soutien 08
Corrigé des exercices du soutien 08
Jeudi 20/11
08h-10h

TD

Exos chapitre 5
  • Exercice 05.06, 05.07, 05.08
DM09 pour le 25/11
Samedi 22/11
08h-12h

DEVOIRS

Devoir Surveillé 04
DS04-sujet
Lundi 24/11
14h-18h

TD

Exos chapitre 6
  • Exercice 06.01, 06.02
Cours Chapitre 6
TD6-Intégration
Mardi 25/11
14h-16h

TD

Exos chapitre 6
  • Exercices 06.02, 06.03, 06.4, 06.7, 06.9
Correction DM09
DM10 pour le 01/12
Mercredi 26/11
16h-18h
Lundi 01/12
14h-18h
Mardi 02/12
14h-16h
Mercredi 03/12
16h-18h
Jeudi 04/12
08h-10h
Lundi 08/12
14h-18h
Mardi 09/12
14h-16h
Mercredi 10/12
16h-18h
Jeudi 11/12
08h-10h

DEVOIRS

Devoir Surveillé 05
Lundi 15/12
14h-18h
Mardi 16/12
14h-16h
Mercredi 17/12
16h-18h
Jeudi 18/12
08h-10h
mat913/cdt1415.txt · Dernière modification: 26/11/2014 09:13 par GELINEAU Yoann