Préparation Agrégation de Sciences Economiques et Sociales (ENS Lyon)

Vous trouverez ici les documents relatifs à la préparation à l'oral de Mathématiques, pour la formation d'Agrégation Externe de Sciences Economiques et Sociales de l'ENS Lyon.

Les séances ont lieu à l'ENS de Lyon :

Chaque jeudi entre 9h et 11h : colles/exercices sur le cours vu la semaine précédente.
Chaque jeudi entre 11h et 13h : cours.

Cahier de Textes

Date	Séance	Horaires	SALLE ENS	Détail	Documents distribués
13/10/11	1	09h-12h	F023	1 - Suites Suites arithmétiques, géométriques Suites arithmético-géométriques Suites monotones, majorées Suites convergentes Suites récurrentes linéaires doubles Révisions fonctions exp et ln Révisions équations 2d degré	Rapports de jury
20/10/11	2	09h-12h	F020	Sommes des termes suite arithmétique Sommes des termes suite géométrique Suites adjacentes Limites des suites, formes indéterminées 2- Fonctions Définitions, images, antécédents Fonctions injectives, surjectives, bijectives Fonctions continues, dérivables, convexes, concaves Fonctions affines et linéaires Fonctions polynômes du second degré Fonction inverse Dérivées usuelles
27/10/11	3	09h-12h	F020	Dérivée d'une somme, d'un produit Dérivée d'une composée Equivalents usuels Croissances comparées Primitives d'une fonction continue Intégrale d'une fonction, aire sous la courbe Relation de Chasles, cas des fonctions bornées Valeur moyenne d'une fonction Intégration par parties 3 - Calcul matriciel Définition, addition, multiplication par un scalaire Produit de deux matrices Matrices inversibles, calcul d'une inverse par opérations sur les lignes.

10/11/11	4	09h-12h	F111	Raisonnement par récurrence. Puissances de matrices, matrices diagonales Matrices et systèmes linéaires. 4 - Probabilités Vocabulaire : expérience, issus, univers, événements Fréquence d'apparition d'un événement, probabilité Propriétés des probabilités Situation d'équiprobabilité : issues favorables et nombre total d'issues Probabilités conditionnelles : définiton Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales Formules de Bayes
17/11/11	5	09h-12h	F020	5 - Séries Définitions : suite, somme partielle Séries convergentes et séries convergentes Séries géométriques Séries exponentielles Séries de Riemann Calcul de sommes
24/11/11	6	09h-12h	F116	6 - Variables aléatoires discrètes Définitions : loi de probabilité Espérance, variance et écart-type Loi uniforme (situation d'équiprobabilité) Loi de Bernoulli, Loi Binomiale Rappels sur les coefficients binomiaux Espérance et variance d'une somme Application : espérance et variance de la loi binomiale Exercice : loi géométrique
01/12/11	7	09h-12h	F108	Retour sur les processus aléatoires Loi de Poisson Espérance et variance Approximation binomiale-Poisson Lecture de tables statistiques Tables individuelles ou cumulatives
08/12/11	8	09h-12h	F020	7 - Espaces vectoriels Définitions : vecteurs, combinaisons linéaires Exemples, sous-espaces vectoriels Ecriture en Vect, familles génératrices Familles libres et familles liées Base d'un espace vectoriel, dimension Rang d'une famille de vecteurs Lien avec l'écriture matricielle : on échelonne en zéros

05/01/12	9	09h-12h	F119	8 - Statistiques descriptives univariées Vocabulaire : population, individus, effectif Caractères qualitatifs, quantitatifs discrets/continus Mode, classe modale d'une série statistique Moyen de représentation : diagrammes en bâtons, histogrammes, diagrammes circulaires Courbe des effectifs cumulés, courbe des fréquences cumulées Histogrammes à classes de longueur constante, de longueur variable Caractères de dispersion : médiane, quartiles, déciles Diagrammes en boîte (boîtes à moustache) Moyenne et écart-type d'une série statistique
12/01/12	10	09h-12h	F119	9 - Statistiques descriptives bivariées Mode de représentation : nuage de points Point moyen d'une série de deux variables Droite des extrêmes, droite de Mayer Covariance de la série, coefficient de corrélation linéaire Droite de régression linéaire 10 - Couples de variables aléatoires discrètes Loi conjointe d'un couple, lois marginales Covariance d'un couple, coefficient de corrélation linéaire Variables aléatoires indépendantes Espérance d'une somme, d'un produit Variables aléatoires non corrélées
19/01/12	11	09h-12h	F119	11 - Intégrales impropres Révisions des primitives usuelles Intégration par parties Intégrales impropres convergentes Exemples : Riemann, exponentielle 12 - Variables aléatoire à densité Fonction de répartition d'une variable aléatoire Cas où la F.R. est continue : densité de probabilité Propriétés des fonctions de répartition, des densités Comment reconnaître une densité de probabilité Exemple : loi exponentielle, espérance
26/01/12	12	09h-12h	F119	Rappels sur fonction de répartition et densités Loi uniforme et loi exponentielle Loi normale centrée réduite, loi normale quelconque 13 - Applications linéaires Définition : applications linéaires, exemples Noyau d'une application linéaire Rappels sur les bases d'un espace vectoriel Matrice d'une application linéaire dans une base Vecteurs propres d'une application linéaire
02/02/12	13	09h-12h	F119	Matrices de passages entre deux bases Formules de changement de bases Introduction aux déterminants de taille 2,3 14 - La loi normale Rappels : densité de probabilité loi N(0,1) Fonction de répartition d'une loi N(0,1) Lecture de tables statistiques Propriétés de symétries, formules Centrage/réduction d'une loi normale quelconque
16/02/12	14	09h-12h	F116	Rappels sur la loi normale Théorème central limite 15 - Statistiques inférentielles Vocabulaire : échantillon, estimateur Exemples d'estimateurs Biais, risque quadratique d'un estimateur Moyenne empirique : c'est un bon estimateur de l'espérance Variance empirique : estimateur biaisé de la variance Variance empirique modifiée : bon estimateur de la variance Intervalle de confiance pour une moyenne/proportion
24/02/12	15	09h-12h	F04	Intervalle de confiance pour une moyenne pour écart-type connu Intervalle de confiance pour une moyenne pour écart-type inconnu Test statistique pour une moyenne Hypothèse de rejet, hypothèse alternative Statistique de test, zone de rejet
PAUSE ECRITS
26/04/12	16	09h-12h	F101	Révisions - Correction des exercices Déterminants, liens avec les matrices inversibles Méthode du pivot de Gauss Puissances des matrices diagonales Limites de suites Densités et fonctions de répartitions Approximation binomiale/poisson/normale Estimateurs et intervalles de confiance 16 - Diagonalisation Principe de la diagonalisation Valeurs propres et vecteurs propres Matrice de passage
03/05/12	17	09h-12h	F101	Révisions - Correction des exercices Calculs de dérivées, de primitives Valeur moyenne d'une fonction, intégration par parties Approximation binomiale/Normale Lois d'un couple, lois marginales Fonctions de répartitions et densités, loi exponentielle Retour sur valeurs propres et vecteurs propres Exemples de diagonalisations de matrices Lien avec les endomorphismes
04/05/12	18	09h-12h	F001	Calculs de déterminants Polynôme caractéristique : factorisation d'un polynôme Développement par rapport à une ligne, à une colonne Déterminants de taille 4 ou plus 17 - Fonctions de deux variables Fonctions de deux variables : c'est une surface Dérivées partielles d'ordre 1 Dérivées partielles d'ordre 2 Gradiant en un point, Matrice hessienne en un point Recherche d'extremums : points critiques Vérification des extremums : déterminant de la hessienne Notations de Monge : r,s,t. Liens avec les extremums
08/05/12	19	13h30-16h30	F119	Oral Blanc et correction Calculs de dérivées, de primitives Minimum de variables aléatoires 18 - Géométrie du plan Equations de droites : cas général Points et vecteurs dans le plan Distance entre deux points, norme d'un vecteur Vecteurs directeurs, normaux à une droite Projection orthogonale d'un point sur une droite
10/05/12	20	09h-12h	F004	Oral Blanc et correction Systèmes probabilistes évolutifs, formule des probabilités totales Rappels sur la diagonalisation Théorème de la limite centrée, intervalles de confiance 19 - Régression linéaire par moindres carrés Nuage de points, explication du principe Rappels sur variances et covariances Lien avec les fonctions de deux variables Points critiques et extremums : droite de régression 20 - Analyse en composantes principales Nuage de points, explication du principe Matrice de variance/covariance Valeurs propres et axes principaux Composantes principales sur les axes factoriels Corrélations linéaires, cercle des corrélations
11/05/12	21	09h-12h	F101	Oral Blanc et correction Extremums d'une fonction de 2 variables Valeurs propres et vecteurs propres : conditions de diagonalisation Retour sur l'analyse en composantes principales Explication du principe Lecture du cercle des corrélations
18/05/12	22	09h-13h	F101	Oral Blanc et correction Analyse en composante principale : qualité de la représentation Stabilité de la loi de Poisson, de la loi binomiale Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice 21 - Optimisation sous contrainte Rappels sur les extremums d'une fonction de plusieurs variables Cas de deux variables, extension au cas général Principe de l'optimisation sous une contrainte d'égalité 1ère méthode : par substitution 2ème méthode : par multiplicateurs de Lagrange
24/05/12	23	09h-13h	F023	Oral Blanc et correction Retour sur le vocabulaire probabiliste Estimation par intervalles de confiance 22 - Manipulation d'un tableur Remplissage de données Calcul de sommes, de moyennes, d'écarts-types Créations de formules automatisées Tracé d'une droite de régression linéaire 23 - Tests statistiques du Chi Deux Retour sur les tests statistiques Hypothèse nulle, hypothèse alternative Risques de première et de seconde espèce Test d'adéquation du Chi Deux Degrés de liberté d'un test d'adéquation
25/05/12	24	09h-13h	F101	Exemple d'adéquation à une loi normale Test d'indépendance du Chi Deux 24 - Le modèle linéaire Explication du modèle Le modèle linéaire simple : hypothèses Retour sur les estimateurs des moindres carrés Sommes des carrés : SCT, SCE, SCR, Coefficient de détermination Le modèle linéaire multiple : explications Tests d'hypothèses sur le modèle linéaire Test de Student de nullité d'un coefficient Test de Fisher de significativité globale
28/05/12	25	09h-12h	F001	25 - Indices statistiques Courbe de Lorenz et coefficient de Gini Calcul approché d'intégrales : méthodes des rectangles/trapèzes Coefficient d'évolution : indice élémentaire, valeur globale Indice de Laspeyres : un facteur est fixé au départ Indice de Paasche : un facteur est fixé à l'arrivée Indice de Fisher Moyennes arithmétiques, géométriques, harmoniques Interprétation des indices Laspeyres, Paasche, Fisher en terme de moyennes
31/05/12	26	09h-13h	F004
01/06/12	27	09h-13h	F004

Programme officiel de l'épreuve

Le programme de mathématiques de terminale doit être très bien assimilé.
S’ajoutent à ces contenus des approfondissements qui font partie du programme de Licence de sciences économiques et sociales, ainsi que des programmes d’enseignement statistiques de second cycle.

Analyse

Fonction numérique d'une variable réelle : continuité, dérivabilité, tableau de variations, graphe, convexité. Primitives, calcul intégral. Développements limités, formule de Taylor.
Fonction numérique de plusieurs variables : dérivées partielles, gradient, différentielle d'ordre 1 et 2. Intégrales doubles
Optimisation d'une fonction de plusieurs variables. Multiplicateurs de Lagrange
Suites : sens de variation, convergence. Suites récurrentes, suites arithmétiques, géométriques. Application aux mathématiques financières.
Séries : définition, convergence, cas des séries de terme général : $tex:q^n, \displaystyle \frac{q^n}{n!}, \left( \frac{1}{n}\right)^k$

Algèbre et géométrie

Espaces et sous-espaces vectoriels de dimension finie : bases, dimension : exemple $tex:\mathbb{R}^2, \mathbb{C}$ .
Applications linéaires : noyau, image, rang. Matrice d'une application linéaire.
Opérations sur les matrices. Changement de base, diagonalisation.
Résolution d'un système linéaire d’équations.
Produit scalaire, distance, norme. Projection orthogonale.
Equation de droites dans le plan, de plans dans l’espace.

Calcul des probabilités

Evénements aléatoires, probabilité dans le cas d'un univers fini ou infini.
Probabilités conditionnelles, théorème de Bayes, événements indépendants.
Variables aléatoires discrètes ou continues. Fonction de répartition. Densité de probabilité.
Moments centrés ou non centrés (moyenne, écart type). Espérance mathématique d'une fonction d'une variable aléatoire. Quantiles d'ordre p.
Loi de probabilité de variables aléatoires usuelles : uniforme, binomiale, Poisson, gaussienne (normale), exponentielle. Théorème central limite.
Variables aléatoires à valeurs dans $tex:\mathbb{R}^2$ : loi du couple (cas discret ou continu), covariance, coefficient de corrélation linéaire.
Matrice de variance covariance, de corrélation pour p variables aléatoires.

Statistiques

Variable statistique unidimensionnelle (qualitative ou quantitative) : moyenne, écart type, coefficient de variation, de symétrie. Quartiles, quantiles d'ordre p. Graphiques : diagrammes, boites à pattes (boxplot), histogrammes.
Statistique descriptive multidimensionnelle :
- Cas de p variables quantitatives : matrice de covariance, de corrélation linéaire, analyse en composantes principales, régression linéaire multiple.
- Analyse des correspondances simples dans le cas de deux variables qualitatives.
Statistique inférentielle :
- Estimateur : propriétés, estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance.
- Tests d'hypothèses : risques d'erreur, région critique. Application au test du chi-deux (ajustement à une loi, liaison de deux variables qualitatives)
Modèle linéaire (cas de la régression linéaire simple ou multiple) : estimateur des moindres carrés, test de Student de signification des coefficients de régression.
Lecture de sorties de logiciels dans le cas de traitements informatiques de données. Interprétation des résultats d'une analyse statistique unidimensionnelle ou multidimensionnelle de données socio-économiques.

Classe B/L - Lycée du Parc

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