====== Cahier de textes - 913 - 2014/2015 ====== ==== Septembre/Octobre 2014 ==== ^ **Mardi 02/09** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 1 - Suites de réels - Rappels et compléments** \\ I - Rappels * Différents types de suites : explicites, récurrentes, implicites,... * Question : est-ce qu'une suite est bien définie ? * Exemples de récurrences, doubles et fortes * Suites monotones, majorées, minorées, bornées * Suites convergentes, divergentes * Théorème de la limite monotone * Suites adjacentes : définition et théorème * Exemple : convergence de \sum \frac{(-1)^n}{n} * Suites arithmétiques : définition, forme explicite, somme de termes * Suites géométriques : définition, forme explicite, somme de termes * Suites arithmético-géométriques : méthode pour la forme explicite II - Compléments * Suites récurrentes linéaires doubles. * Equation caractéristique. Ecriture en fonction du signe de Delta. Exemples. | {{:mat913:cours:14kk_01_suites.pdf|Cours Chapitre 1}} \\ {{:mat913:cours:14kk_02_series.pdf|Cours Chapitre 2}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm01_suites_series.pdf|DM1 pour le 08/09}} | ^ **Mercredi 03/09** \\ 16h-18h | **Soutien 01 - Suites de réels** \\ * Une suite récurrente linéaire double * Une suite récurrente du type u_{n+1}=f(u_n) * Une suite implicite | {{:mat913:corriges:14_k_s01_suites.pdf|Exos soutien 01}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s01_suites_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 01}} | ^ **Jeudi 04/09** \\ 08h-10h | **CHAPITRE 1 - Suites de réels - Rappels et compléments** \\ II - Compléments 1) Suites récurrentes linéaires doubles * Suites récurrentes linéaires doubles. * Exemple dans le cas où \Delta < 0 . 2) Manipulation des \varepsilon * Retour sur les définitions de convergence avec les \varepsilon * Théorème de Cesàro : démonstration 3) Suites récurrentes du type u_{n+1}=f(u_n) * Recherche d'intervalles stables : suites bien définies * Points fixes, liens avec la convergence * Représentation graphique : escalier ou escargot * Lorsque f est croissante, la suite est monotone * Lorsque f est décroissante, étude des suites extraites 4) Sommes de Riemann * Subdivision régulière d'un segment en n segments * Sommes de Riemann à gauche et à droite * Convergence dans le cas où la fonction est continue * Exemples **Exos chapitre 1** \\ * Exercice 01.9 (a) | {{:mat913:td:14ktd01_suites.pdf|Feuille TD 1 - Suites numériques}} \\ {{:mat913:colles:14prog_kkh01.pdf|Programme de khôlle 1}} \\ {{:mat913:kholloscope_913_1415_v2.pdf|Khôlloscope (v2)}} | ^ **Lundi 08/09** \\ 14h-18h | **Exos chapitre 1** \\ * Exercices 01.2, 01.3, 01.4, 01.6, 01.7 | {{:mat913:corriges:14kdm01_suites_series_corrige.pdf|Correction DM1}} | ^ **Mardi 09/09** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 1** \\ * Exercices 01.9 (3) **Exos chapitre 2** \\ * Exercices 02.1 (1,2,4), 02.2, 02.3, 02.4 | {{:mat913:td:14ktd02_series.pdf|Feuille TD 2 - Convergence des séries}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm02_series_probas.pdf|DM2 pour le 15/09}} | ^ **Mercredi 10/09** \\ 16h-18h | **Soutien 02 - Suites et séries** \\ * Suites et séries télescopiques * Une suite définie par une intégrale * Des calculs de sommes de séries | {{:mat913:corriges:14_k_s02_suites_series.pdf|Exos soutien 02}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s02_suites_series_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 02}} | ^ **Jeudi 11/09** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 2** \\ * Exercices 02.4, 02.5, 02.6, 02.7, 02.8 | {{:mat913:colles:fonctionnement_colles_kh_ulm.pdf|Fonctionnement des khôlles de type Ulm}} | ^ **Samedi 13/09** \\ 08h-12h | **Devoir Surveillé 01** \\ * Suites et séries : 3 exos et 1 problème | {{:mat913:devoirs:14kds01_4h_suites_series.pdf|DS01}} | ^ **Lundi 15/09** \\ 14h-18h | **CHAPITRE 3 - Espaces probabilisés** \\ 0 - Rappel du vocabulaire * Expérience aléatoire, issues, univers * Evénements associés, notation \mathcal{P}(\Omega) I - Espace probabilisé général * Notion de tribu associée à un ensemble * Exemples avec des lancers de dé * Espaces probabilisables, et espaces probabilisés * Evénements négligeables, presque sûr * Intersection infinie ou réunion infinie d'événements * Suites croissantes et décroissantes d'événements * Théorème de la limite monotone **Exos chapitre 3** \\ * Exercice 03.1 | {{:mat913:cours:14kk_03_probas.pdf|Cours Chapitre 3}} \\ {{:mat913:td:14ktd03_probabilites.pdf|Feuille TD 3 - Espaces probabilisés}} \\ {{:mat913:corriges:14kdm02_series_probas_corrige.pdf|Correction DM2}} | ^ **Mardi 16/09** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 3 - Espaces probabilisés** \\ * Loi de probabilité sur un univers fini ou infini * Situation d'équiprobabilité II - Conditionnement et indépendance * Probabibilité de A sachant B, propriétés * Formule des probabilités composées * Systèmes complets d'événements, systèmes quasi-complets * Formule des probabilités totales * Formule de Bayes * Evenements indépendants, 2 à 2, mutuellement. **Exos chapitre 3** \\ * Exercices 03.2, 03.3, 03.4 | | ^ **Mercredi 17/09** \\ 16h-18h | **Soutien 03 - Espaces probabilisés** \\ * Formule des probas totales, formule de Bayes * Travail sur les événements. | {{:mat913:corriges:14_k_s03_probas.pdf|Exos soutien 03}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s03_probas_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 03}} | ^ **Jeudi 18/09** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 3** \\ * Exercices 03.5, 03.6, 03.7 | {{:mat913:devoirs:14kdm03_probas.pdf|DM3 pour le 22/09}} \\ Distribution codes visiocolle | ^ **Lundi 22/09** \\ 14h-18h | **CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes** \\ I - VARD * Définition d'une variable aléatoire dans un espace probabilisable. * Exemples de variables aléatoires : définies ou non. * Variables aléatoires discrètes, finies ou infinies. * Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Exemples. * Toute loi de probabilité est la loi d'une VARD sur un espace probabilisé * Fonction d'une VARD. Exemple. * Fonction de répartition. Définition et exemple. | {{:mat913:cours:14kk_04_vard.pdf|Cours Chapitre 4}} \\ {{:mat913:corriges:14kdm03_probas_corrige.pdf|Correction DM3}} \\ {{:mat913:corriges:14kds01_4h_suites_series_corrige.pdf|Correction DS1}} \\ {{:mat913:corriges:fonctionnement_colles_kh_ulm.pdf|Fonctionnement Khôlles type Ulm}} \\ {{:mat913:corriges:fonctionnement_colles_kh_cachan.pdf|Fonctionnement Khôlles type Cachan}} | ^ **Mardi 23/09** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes** \\ I - VARD * Fonction de répartition. Propriétés. * Formule P(X=x_k) = F(x_k) - F(X_{k-1}) * Exemple : maximum de deux tirages avec remise dans une urne II - Moments d'une variable aléatoire * Espérance d'une variable finie * Espérance d'une variable infinie : problème de convergence absolue * Exemples : variable finie, variables infinies avec ou sans espérance * Propriétés : espérance de aX+b. Inégalité triangulaire. * Théorème de transfert. Exemples d'applications. * Variable centrée associée à une variable aléatoire admettant une espérance. * Moment d'ordre k d'une variable aléatoire, moment centré d'ordre k d'une variable aléatoire * Si X admet un moment d'ordre k, alors X admet des moments d'ordre k-1,k-2,...,2,1. * Variance et écart-type d'une variable aléatoire. Interprétation. | | ^ **Mercredi 24/09** \\ 16h-18h | **Soutien 04 - Espaces probabilisés - Variables aléatoires discrètes** \\ * Calculs de sommes de séries * Déterminer la loi d'une variable aléatoire * Regarder si une variable aléatoire admet une espérance | {{:mat913:corriges:14_k_s04_probas_vardf.pdf|Exos soutien 04}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s04_probas_vardf_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 04}} | ^ **Jeudi 25/09** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.1, 04.2, 04.3, 04.6, 04.8 | {{:mat913:td:14ktd04_vard.pdf|TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 1)}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm04_probas.pdf|DM04 pour le 29/09}} | ^ **Lundi 29/09** \\ 14h-18h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.7, 04.9, 04.18 | {{:mat913:td:14ktd04_vard_feuille2.pdf|TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 2)}} | ^ **Mardi 30/09** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes** \\ II - Moments d'une variable aléatoire * Propriétés de la variance. Variable de aX+b. * Cas où la variance est nulle. Interprétation. * Formule de König-Huygens. III - Lois usuelles * Loi uniforme sur {1,2,...,n}. Définition. Modèle. Espérance et variance. * Loi de Bernoulli B(p). Définition. Modèle. Espérance et variance. * Loi binomiale B(n,p). Définition. Modèle. Espérance et variance. * Loi géométrique G(p). Définition. Modèle. Espérance et variance. * Loi de Poisson P(lambda). Interprétation. Espérance et variance. | {{:mat913:corriges:14kdm04_probas_corrige.pdf|Correction DM04}} | ^ **Mercredi 01/10** \\ 16h-18h | **Soutien 05 - Variables aléatoires discrètes - Lois usuelles** \\ * Déterminer la loi d'une variable aléatoire * Reconnaître une loi binomiale, géométrique. | {{:mat913:corriges:14_k_s05_vard.pdf|Exos soutien 05}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s05_vard_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 05}} | ^ **Jeudi 02/10** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.10, 04.11, 04.12, 04.13, 04.16, 04.20 (1) | {{:mat913:devoirs:14kdm05_vard.pdf|DM05 pour le 07/10}} | ^ **Lundi 06/10** \\ 14h-18h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.14, 04.15, 04.17, 04.19, 04.20 (2), 04.21 | | ^ **Mardi 07/10** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes** \\ IV - Variables aléatoires discrètes indépendantes * Définitions : variables indépendantes (2 variables ou suite de variables) * Etude d'une somme de variables discrètes indépendantes * Rappels sur maximum et minimum. * Traductions de max(a,b) < c, max(a,b) > c, min(a,b) < c, min(a,b) >c * Définition : inf(X,Y) ou sup(X,Y). Méthode d'étude * Exemple : inf(X,Y) avec X,Y géométriques indépendantes V - Couples de variables aléatoires discrètes * Loi conjointe d'un couple de variables aléatoire * Exemples (variables finies et infinies). **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.22 | {{:mat913:corriges:14kdm05_vard_corrige.pdf|Correction DM5}} | ^ **Jeudi 09/10** \\ 08h-10h | **Devoir Surveillé 02** \\ * Variables aléatoires réelles discrètes : 3 exos | {{:mat913:devoirs:14kds02_2h_vard.pdf|DS02}} | ^ **Lundi 13/10** \\ 12h-13h et 15h-16h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.23, 04.26, 04.30 | {{:mat913:td:14ktd04_vard_feuille3.pdf|TD4 - Variables aléatoires discrètes (feuille 3)}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm06_couples.pdf|DM06 pour le 16/10}} | ^ **Mardi 14/10** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 4 - Variables aléatoires discrètes** \\ V - Couples de variables aléatoires discrètes * Lois marginales d'un couple : formule des probabilités totales * Lecture sur le tableau de la loi conjointe * Lois conditionnelles de X sachant (Y=j), de Y sachant (X=i) * Liens entre les différentes lois * Espérance d'une variable du type g(X,Y) : théorème de transfert * Application : linéarité de l'espérance. * Lorsque les variables sont indépendantes, E(XY)=E(X)E(Y) VI - Covariance et corrélation linéaire * Définition de la covariance. Formule de Huygens * Propriétés : bilinéarité. * Lien avec l'indépendance. Variables non corrélées linéairement * Coefficient de corrélation linéaire : propriétés et interprétation **Exos chapitre 4** \\ * Exercice 04.24 | | ^ **Mercredi 15/10** \\ 16h-18h | **Soutien 06 - Variables aléatoires discrètes - Couples de variables aléatoires** \\ * Déterminer une loi conjointe * En déduire les lois marginales | {{:mat913:corriges:14_k_s06_couples.pdf|Exos soutien 06}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s06_couples_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 06}} | ^ **Jeudi 16/10** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 4** \\ * Exercices 04.25, 04.27, 04.29 | {{:mat913:corriges:14kdm06_couples_corrige.pdf|Correction DM06}} \\ {{:mat913:corriges:14kds02_corrige.pdf|Correction DS2}} | ==== Novembre/Décembre 2014 ==== ^ **Lundi 03/11** \\ 08h-12h | **Devoir Surveillé 03 - Concours Blanc 1** \\ | {{:mat913:devoirs:14kds03_4h_cb1.pdf|DS03 - Concours Blanc 1}} | ^ **Lundi 10/11** \\ 14h-18h | **CHAPITRE 5 - Calcul matriciel** \\ I - L'ensemble M_{n,p}(K) * Structure d'espace vectoriel * Addition, multiplication par un scalaire **Exos chapitre 5** \\ * Exercices 05.01, 05.02, 05.03 | {{:mat913:cours:14kk_05_matrices.pdf|Cours Chapitre 5}} \\ {{:mat913:td:14ktd05_matrices.pdf|TD05-Matrices}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm07_rev_algebre.pdf|DM07 pour le 14/11}} | ^ **Mercredi 13/11** \\ 16h-18h | **Soutien 07 - Calcul matriciel** \\ * Résolution de systèmes, écritures en Vect * Matrices inversibles | {{:mat913:corriges:14_k_s07_matrices_ev.pdf|Exos soutien 07}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s07_matrices_ev_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 07}} | ^ **Jeudi 14/11** \\ 08h-10h | **CHAPITRE 5 - Calcul matriciel** \\ * Base canonique de M_{n,p}(K). Dimension de M_{n,p}(K) * Produit de matrices. Puissances, polynôme d'une matrice. * Transposée d'une matrice II - Images, noyaux, rangs * Image d'une matrice : c'est le Vect des colonnes * Rang d'une matrice : dimension de l'image * Noyau d'une matrice. Lien avec les colonnes de la matrices * Théorème du rang. **Exos chapitre 5** \\ * Exercices 05.04 | | ^ **Vendredi 14/11** \\ 13h-15h | **CHAPITRE 5 - Calcul matriciel** \\ III - Matrices inversibles * Définition d'une matrice inversible * Lien avec les systèmes linéaires * Une matrice est inversible ssi les colonnes forment une base * Une matrice est inversible ssi Ker={0} ssi rg(A)=n * Opérations élémentaires sur les lignes. Interprétation. * Matrices équivalentes. Elles ont le même rang. * Méthode de Gauss-Jordan pour déterminer l'inverse d'une matrice * Toute matrice est équivalente à J_{n,p,r}. A et sa transposée ont le même rang. * Interprétation sur les lignes de la matrice. * Matrices de taille 2. Matrices diagonales, triangulaires. * Matrices ayant un polynôme annulateur. Toute matrice admet un pol annulateur. **Exos chapitre 5** \\ * Exercices 05.04 | {{:mat913:corriges:14kdm07_rev_algebre_corrige.pdf|Correction DM07}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm08_rang.pdf|DM08 pour le 18/11}} | ^ **Lundi 17/11** \\ 14h-18h | **CHAPITRE 5 - Calcul matriciel** \\ IV - Elements propres d'une matrice * Valeurs propres d'une matrice : A- lambda I non inversible * Vecteurs propres d'une matrice, sous-espaces propres d'une matrice * Différentes écritures de "lambda est une valeur propre de A" * Cas particulier : matrices triangulaires ou diagonales * Cas particulier : matrices ayant un polynôme annulateur **Exos chapitre 5** \\ * Exercices 05.04, 05.05, 05.06 (début) | | ^ **Mardi 18/11** \\ 14h-16h | **CHAPITRE 5 - Calcul matriciel** \\ IV - Elements propres d'une matrice * Les sous-espaces propres sont en somme directe * Conséquence sur la somme des dimensions * Matrices semblables, matrices diagonalisables * CNS de diagonalisabilité : somme des dimensions * CS de diagonalisabilité : si A admet n valeurs propres distinctes * CS de diagonalisabilité : Si A admet une unique valeur propre **Exos chapitre 5** \\ * Exercice 05.06 | {{:mat913:corriges:14kds03_4h_cb1_corrige.pdf|Correction DS3(cb1)}} {{:mat913:corriges:14kds03_grille.pdf|Grille DS3}} \\ {{:mat913:corriges:14kdm08_rang_corrige.pdf|Correction DM08}} | ^ **Mercredi 19/11** \\ 16h-18h | **Soutien 08 - Diagonalisation de matrices** \\ * Recherche de valeurs propres * Savoir si une matrice est diagonalisable * Utilisation de polynômes annulateurs | {{:mat913:corriges:14_k_s08_reduction.pdf|Exos soutien 08}} \\ {{:mat913:corriges:14_k_s08_reduction_corrige.pdf|Corrigé des exercices du soutien 08}} | ^ **Jeudi 20/11** \\ 08h-10h | **Exos chapitre 5** \\ * Exercice 05.06, 05.07, 05.08 | {{:mat913:devoirs:14kdm09_integrales.pdf|DM09 pour le 25/11}} | ^ **Samedi 22/11** \\ 08h-12h | **Devoir Surveillé 04** \\ | {{:mat913:devoirs:14kds04_4h_vard_matrices.pdf|DS04-sujet}} | ^ **Lundi 24/11** \\ 14h-18h | **Exos chapitre 6** \\ * Exercice 06.01, 06.02 | Cours Chapitre 6 \\ TD6-Intégration | ^ **Mardi 25/11** \\ 14h-16h | **Exos chapitre 6** \\ * Exercices 06.02, 06.03, 06.4, 06.7, 06.9 | {{:mat913:corriges:14kdm09_integrales_corrige.pdf|Correction DM09}} \\ {{:mat913:devoirs:14kdm10_integrales.pdf|DM10 pour le 01/12}} | ^ **Mercredi 26/11** \\ 16h-18h | | | ^ **Lundi 01/12** \\ 14h-18h | | | ^ **Mardi 02/12** \\ 14h-16h | | | ^ **Mercredi 03/12** \\ 16h-18h | | | ^ **Jeudi 04/12** \\ 08h-10h | | | ^ **Lundi 08/12** \\ 14h-18h | | | ^ **Mardi 09/12** \\ 14h-16h | | | ^ **Mercredi 10/12** \\ 16h-18h | | | ^ **Jeudi 11/12** \\ 08h-10h | **Devoir Surveillé 05** \\ | | ^ **Lundi 15/12** \\ 14h-18h | | | ^ **Mardi 16/12** \\ 14h-16h | | | ^ **Mercredi 17/12** \\ 16h-18h | | | ^ **Jeudi 18/12** \\ 08h-10h | | |