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mat813:prog

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mat813:prog [02/07/2011 13:49]
GELINEAU Yoann [II - ANALYSE]
mat813:prog [02/07/2011 13:50] (Version actuelle)
GELINEAU Yoann [II - ANALYSE]
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 +====== Programme de mathématiques en B/L ======
  
 +Le programme officiel de mathématiques est rédigé pour les deux années. Le partage entre l'​hypokhâgne et la khâgne est laissé au choix de l'​enseignant.
 +
 +==== I - ALGEBRE LINEAIRE ====
 +
 +  * Les définitions d'un groupe et d'un corps (au sens de corps commutatif) seront données, à l'​exclusion de toute théorie relative à ces notions. Le corps de base est R ou C.
 +
 +  * Les nombres complexes ne figurent pas de ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations <tex> Re(z), Im(z), ​ \bar{z}, |z| </​tex>,​ le module et l'​argument d'un produit, l'​inégalité triangulaire,​ la résolution de l'​équation du second degré à coefficients réels et de l'​équation <tex> z^n = a </​tex>,​ l'​affixe d'un point et d'un vecteur.
 +
 +== A - Espaces vectoriels et applications linéaires ==
 +
 +  * Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels.
 +  * Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme.
 +  * Espaces vectoriels de dimension finie ;
 +  * Bases, rang d'une application linéaire ;
 +  * Somme directe de sous-espaces,​ sous-espaces supplémentaires
 +
 +== B - Calcul matriciel ==
 +
 +  * Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée
 +  * Matrices carrées d'​ordre n ; groupe des matrices inversibles.
 +  * Matrice d'une application linéaire ;
 +  * Effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes,​ matrices semblables
 +
 +== C - Systèmes d'​équations linéaires ==
 +
 +  * Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l'​inverse d'une matrice carrée
 +  * Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice carrée.
 +  * Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes :
 +    * Recherche d'une forme triangulaire
 +    * Recherche de l'​inverse d'une matrice carrée
 +    * Résolution d'un système de n équations linéaires à p inconnues
 +//Les déterminants ne sont pas au programme.//​
 +
 +== D - Valeurs propres et vecteurs propres ==
 +
 +  * Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée)
 +  * Toute somme de sous-espaces propres est directe
 +  * Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si l'​espace est somme directe des sous-espaces propres
 +//La notion de polynôme caractéristique n'est pas au programme.//​
 +//La réduction des matrices à la forme triangulaire n'est pas au programme.//​
 +
 +==== II - ANALYSE ====
 +
 +== A - Suites et séries de nombres réels ==
 +
 +  * Enoncé des propriétés de R (admises)
 +  * Suites de nombres réels. Suites monotones;
 +  * Suites définies par une relation de récurrence <​tex>​u_{n+1}=f(u_n) </​tex>​
 +  * Convergence d'une série.
 +  * Somme.
 +  * Séries à termes positifs, comparaison de deux séries.
 +  * Séries à termes réels, convergence absolue.
 +
 +== B - Continuité et dérivation ==
 +
 +  * Fonctions numériques d'une variable réelle
 +    * Notion de limite. Théorèmes sur les limites
 +    * Continuité d'une fonction. Enoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration)
 +    * Fonctions monotones.
 +    * Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
 +  * Notion de dérivée.
 +    * Calcul des dérivées.
 +    * Dérivée d'une fonction composée, d'une fonction réciproque
 +    * Fonction dérivée, dérivées d'​ordre supérieur
 +  * Théorème des accroissements finis
 +    * Théorème des accroissements finis
 +    * Sens de variation d'une fonction dérivable
 +
 +== C - Fonctions usuelles ==
 +
 +  * Fonctions polynômes, fonctions rationnelles.
 +    * Théorème de D'​Alembert (admis)
 +    * Degré.
 +    * Définition de la division euclidienne (admis).
 +    * Zéros (ou racines) d'un polynôme, divisibilité par <​tex>​(X-a) </​tex>​
 +    * Ordre de multiplicité d'un zéro.
 +    * Décomposition d'un polynôme réel sur C et sur R (existence et unicité admises)
 +//La construction formelle des polynômes et fractions rationnelles n'est pas au programme, pas plus que les notions de PGCD, PPCM, polynômes premiers entre eux.//
 +//Aucun résultat sur la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples n'est à connaître.//​
 +  * Fonctions circulaires et circulaires réciproques.
 +//En dehors des formules// ​ <tex> \cos^2 x + \sin^2 x =1 </​tex>, ​  <​tex>​\displaystyle \sin(x)= \cos\left( \frac{\pi}{2}-x\right) </​tex>, ​  <​tex>​ \displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} </​tex>,​ //aucune formule de trigonométrie autre que celles résultat des symétries des fonctions// <tex> cos, sin, tan </​tex>​ //​n'​est à mémoriser.//​
 +  * Fonctions logarithmes et exponentielles.
 +  * Fonctions puissances, fonction <tex> t \mapsto \exp(it) </​tex>,​ formules de Moivre et d'​Euler.
 +  * Comparaison,​ pour x tendant vers l'​infini,​ des fonctions <tex> x^a</​tex>​ , <​tex>​a^x</​tex>​ et <tex> \ln(x)</​tex>​
 +
 +== D - Intégration ==
 +
 +  * Intégration sur un segment
 +    * Définition et propriétés de l'​intégrale d'une fonction continue
 +    * Lien avec les primitives
 +    * Inégalité de la moyenne
 +//La présentation n'est pas imposée ; on peut admettre qu'une fonction continue possède une primitive//
 +  * Intégrales généralisées
 +    * Intégration d'une fonction continue sur un intervalle non compact
 +    * Convergence,​ convergence absolue.
 +  * Calcul de primitives et d'​intégrales
 +    * Changement de variables
 +    * Intégration par parties
 +    * Exemples, exercices simples d'​intégration de fonctions (fonctions rationnelles,​ produit exponentielle-polynôme)
 +
 +== E - Méthodes d'​approximation ==
 +
 +  * Approximation locale des fonctions
 +    * Formule de Taylor-Young
 +    * Développements limités
 +    * Applications à la recherche de limites
 +  * Comparaison d'une série et d'une intégrale
 +    * Séries de Riemann
 +
 +== F - Fonctions de plusieurs variables ==
 +
 +  * Fonctions numériques de plusieurs variables
 +  * Dérivées partielles d'​ordre un et deux
 +  * Théorème de Schwarz
 +  * Différentielle.
 +  * Fonctions homogènes, théorème d'​Euler.
 +  * Conditions nécessaire (du premier ordre) pour un extremum libre.
 +  * Extrema liés dans le cas d'une contrainte linéaire.
 +
 +==== III - PROBABILITES ET STATISTIQUES ====
 +
 +Dans tout ce paragraphe, on mettra l'​accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités,​ événements,​ variables aléatoires,​ indépendance),​ les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats.
 +
 +== A - Fondements des probabilités ==
 +
 +On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection,​ complémentaire,​ partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions.
 +
 +  * Analyse combinatoire.
 +    * Permutations,​ arrangements et combinaisons (sans répétition).
 +    * Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal
 +  * Probabilités discrètes
 +    * Epreuve, ensemble des résultats de l'​épreuve (univers), tribu (ou sigma-algèbre) des événements
 +    * Définition d'une probabilité,​ additivité
 +//On se limitera au cas où les événements sont les parties de l'​univers et l'on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires.//​
 +  * Probabilité conditionnelle
 +    * Définition,​ propriétés
 +    * Formule <tex> P(B) = \sum P(A_i) P(B | A_i) </​tex>​
 +    * Formule de Bayes
 +    * Indépendance de deux, de n événements
 +
 +== B - Variables aléatoires ==
 +
 +On n'​insistera pas sur les aspects théoriques,​ l'​important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept.
 +  * Variables aléatoires discrètes
 +    * Variables aléatoires où l'​ensemble des valeurs est fini ou inclus dans <tex> \mathbb{Z} </​tex>​.
 +    * Loi de probabilité,​ fonction de répartition,​ définie par <tex> F(x) = P(X \leq x) </​tex>​
 +    * Exemples, variable certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique,​ loi de Poisson.
 +  * Variables aléatoires à densité
 +    * Densité de probabilité,​ fonction de répartition
 +    * Loi uniforme sur un segment, loi exponentielle,​ loi normale
 +
 +//On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur//  <tex> \mathbb{R} </​tex> ​ //et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A2 et A3.//
 +
 +//​L'​égalité// ​ <tex> \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) dt = \sqrt{2 \pi}</​tex> ​ //doit être connue des candidats, sans qu'ils aient à la justifier.//​
 +
 +  * Paramètres de position et de dispersion
 +    * Espérance, variance, écart type
 +  * Couples de variables aléatoires discrètes
 +    * Loi d'un couple : lois marginales, lois conditionnelles.
 +    * Covariance.
 +    * Couple de variables aléatoires indépendantes,​ variance de leur somme
 +    * Extension à n variables.
 +
 +== C - Statistique descriptive et statistique inférentielle ==
 +  * Statistique descriptive élémentaire
 +    * Echantillon de n observations d'une variable numérique.
 +    * Description de la répartition des valeurs : diagrammes en bâtons, histogrammes.
 +    * Paramètres de position : moyenne, médiane, quartiles.
 +    * Paramètres de dispersion : variance, écart type, écarts interquantiles.
 +  * Statistique inférentielle
 +    * Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance
 +    * Notion d'​estimateur : biais et variance d'un estimateur.
 +    * Enoncé (sans démonstration) de la loi faible des grands nombres et du théorème de la limite centrée.
 +    * Notion d'​intervalle de confiance sur une moyenne et une proportion
mat813/prog.txt · Dernière modification: 02/07/2011 13:50 par GELINEAU Yoann