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Cahier de Textes Maths Hypokhâgne B/L Parc 2012/2013

Vous trouverez ici le cahier de textes mis à jour régulièrement du cours de mathématiques.

Semaine du 03/06/13

Lundi 03/06
8h-10h
Mardi 04/06
08h-10h
Vendredi 07/05
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 19 - Intégrales impropres
I - Convergence d'intégrales impropres
  • Cas d'une fonction f continue sur [a,b[ ou ]a,b]
  • Exemples, intégrales faussement impropres
  • Cas d'une fonction f continue sur [a,+infini[ ou ]-infty,a]
  • Exemples, condition nécessaire sur la limite de f
  • Cas d'une fonction f continue sur ]a,b[ : relation de Chasles
  • Exemples
  • Intégration par parties ou changement de variable : tout sur un segment

COURS

CHAPITRE 19 - Intégrales impropres
  • Linéarité des intégrales convergentes
  • Exemples et contre-exemples
  • Positivité des intégrales convergentes
  • Fonction continue positive d'intégrale nulle

II - Intégrales de référence

  • Exponentielles négatives
  • Intégrales de Riemann sur [1,+infty[
  • Intégrales de Riemann sur ]0,1]

III - Critères de convergence pour les fonctions positives

  • La fonction tex:g : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt est croissante
  • L'intégrale converge sur [a,b[ ssi g est majorée
  • Critère de comparaison pour les fonctions positives
  • Critère de négligeabilité pour les fonctions positives
  • Critère d'équivalence pour les fonctions positives

IV - Absolue convergence

  • Définition d'une intégrale absolument convergente
  • L'absolue convergence implique la convergence
  • En cas de convergence, inégalité triangulaire

EXERCICES

Exercices Chap. 19 - Intégrales impropres

Exercices 19.01, 19.02, 19.03

Semaines du 20/05/13 et du 27/05/13

Mardi 21/05
10h-12h
Mardi 22/05 17h-18h
Vendredi 24/05 10h-11h
Lundi 27/05
08h-12h

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction des endomorphismes
  • Méthode pour trouver des valeurs propres
  • Exemples
  • Une famille de vecteurs propres ass. à des vp différentes est libre
  • Les sous-espaces propres sont en somme directe
  • Conséquence sur les dimensions

III - Diagonalisabilité

  • Endomorphisme diagonalisable
  • Matrice diagonalisable
  • Caractérisation à l'aide des dimensions
  • Cas particulier où on a n valeurs propres distinctes
  • Cas particuliers où on a une unique valeur propre

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes

Exercices 18.03, 18.06

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes

Exercices dictés

DEVOIRSS

DS09 - Concours Blanc - 4h

Semaine du 13/05/13

Lundi 13/05
8h-10h
Jeudi 16/05 8h-10h Mercredi 15/05 13h-14h
Vendredi 17/05 10h-11h

EXERCICES

Exercices Chap. 17 - Matrices d'AL

Exercice 17.07, 17.08, 17.09, 17.10

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction des endomorphismes
I - Changements de bases
  • Matrices de passage d'une base à une autre
  • Exemples : propriétés d'inversibilité
  • P inversible ⇔ P est une matrice de passage
  • Changement de base pour un vecteur
  • Changement de base pour une application linéaire
  • Changement de base pour un endomorphisme
  • Définition des matrices équivalentes, lien avec le rang
  • Définition des matrices semblables.
  • Matrice diagonalisable : avantage pour le calcul de puissances

II - Valeurs propres et vecteurs propres

  • Valeur propre pour un endomorphisme
  • Vecteur propre pour un endomorphisme
  • Sous-espace propre associé
  • Méthode pour trouver les valeurs propres : (f-L IdE) non bijective
  • Valeur propre pour une matrice
  • Vecteur propre pour une matrice
  • Sous-espace propre associé
  • Méthode pour trouver les valeurs propres : (A- L In) non inversible

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes

Exercices dictés

Semaine du 06/05/13

Lundi 06/05
8h-10h
Mardi 07/05
10h-12h
Mardi 07/05 17h-18h
Vendredi 10/05 10h-11h

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
I - Matrices représentant des vecteurs
  • Rappels : familles libres, génératrices, bases
  • Coordonnées/composantes d'un vecteur dans une base
  • Matrice colonne représentant un vecteur
  • Exemples dans les bases canoniques

II - Matrices d'applications linéaires

  • Caractérisation d'une AL par l'image d'une base
  • Définition de la matrice dans des bases données

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
  • AL canoniquement associée à une matrice
  • Matrices d'images de vecteurs
  • Matrice d'une composée d'AL

III - Image, noyau, rang d'une matrice

  • Définition du noyau, de l'image
  • Rang d'une matrice, d'une AL, d'une famille de vecteurs
  • Calcul du rang en pratique

EXERCICES

Exercices Chap. 17 - Matrices d'AL

Exercice 17.01, 17.03, 17.06

Semaine du 15/04/13

Lundi 15/04
8h-12h
Mardi 16/04
10h-12h
Mercredi 17/04
08h-10h
Vendredi 19/04
10h-11h30
15h-16h30

DEVOIRSS

DS08 - 4h

COURS

CHAPITRE 16 - Développements limités
  • Opérations sur les DL
  • Sommes, produits, quotients
  • Composées de DL
  • Interprétation d'un DL : étude du comportement local
  • Ecriture de la tangente, position par rapport à cette tangente

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - Développements limités

Exercice 16.01, 16.03

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - Développements limités

Exercice 16.01, 16.06, 16.08

Semaine du 08/04/13

Lundi 08/04
8h-10h
Mardi 09/04
10h-12h
Jeudi 11/04
16h-17h30
18h-19h

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.11, 15.14, 15.17, 15.20, 15.25

COURS

CHAPITRE 16 - Développements limités
I - Fonction négligeable devant une autre
  • Définition, caractérisation par limite du quotient
  • Exemples : puissances au voisinage de l'infini, puissances au voisinage de 0
  • Exemples : croissances comparées en l'infini, croissances comparées en 0
  • Propriétés : addition, produit, multiplication par scalaire
  • Lien entre négligeabilité et équivalence

II - Développements limités

  • DL d'ordre n d'une fonction au voisinage de 0, au voisinage de x0
  • Partie régulière du DL, reste du DL
  • Exemples : fonction exponentielle, fonction tex:x \mapsto \frac{1}{1-x}
  • f admet un DL d'ordre 0 ⇔ f admet une limite
  • f admet un DL d'ordre 1 ⇔ f est dérivable
  • Formule de Taylor-Young : condition pour admettre un DL d'ordre n et formule avec dérivées
  • Lorsqu'on a un DL, l'équivalent est le premier terme du DL

COURS

CHAPITRE 16 - Développements limités
  • DL de 1/(1-x), 1/(1+x)
  • Primitivation d'un DL : DL de ln(1+x), ln(1-x)
  • Utilisation de Taylor-Young : DL de exp(x), de tex:(1+x)^\alpha
  • Utilisation des formules d'Euler : DL de cos(x), sin(x)

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - Développements limités

Exercice 16.01

Semaine du 02/04/13

Mardi 02/04
10h-12h
Mercredi 03/04
08h-10h
Vendredi 05/03
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
  • Exemples de changements de variables
  • Cas particuliers simples ( u=-t, c.v. affine)
  • Cas des fonctions paires, impaires, périodiques
  • Positivité de l'intégrale
  • Comparaison de deux fonctions et de leurs intégrales
  • Inégalité de la moyenne
  • Intégrale et valeurs absolues
  • Généralisation aux fonctions continues par morceaux

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
  • Intégrales de fonctions continues par morceaux
  • Extension des propriétés précédentes
  • Fonction continue positive d'intégrale nulle

III - Sommes de Riemann

  • Lien entre aire et intégrale
  • Subdivision régulière d'un segment [a,b]
  • Sommes de Riemann (à droite et à gauche)
  • Théorème de convergence
  • Exemples

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.18, 15.27

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.18, 15.19

Semaine du 25/03/13

Lundi 25/03
8h-10h
Mardi 26/03
10h-12h
Vendredi 29/03
10h-11h30
15h-16h30

DEVOIRSS

DS07 - 2h

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
  • Fonction intégrale dont la variable est dans la borne du haut
  • C'est la primitive de f qui s'annule en un point
  • Fonction intégrales dont les deux bornes varient
  • Exemples
  • Linéarité de l'intégrale sur le segment
  • Relation de Chasles
  • Formule d'intégration par parties : exemples
  • Formule de changement de variable : exemples

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercice 15.02, 15.04, 15.06, 15.07, 15.09, 15.13

Semaine du 18/03/13

Lundi 18/03
8h-10h
Mardi 19/03
10h-12h
Vendredi 22/03
10h-11h30
15h-16h30

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Convergence de suites

Exercice 14.14, 14.15, 14.17, 14.18

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Convergence de suites

Exercice 14.14, 14.19

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
I - Primitives
  • Définition : primitive d'une fonction
  • Exemples. Les primitives diffèrent d'une constante
  • Unicité de la primitive vérifiant une relation f(x)=y
  • Théorème fondamental de l'analyse
  • Exemple : primitive de tex:x \mapsto 1/x sur tex:R^*
  • Tableau des primitives usuelles

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
  • Tableau des primitives usuelles
  • Tableau des primitives de composées

II - Intégration sur un segment

  • Définition pour une fonction continue sur [a,b]
  • L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie
  • Quelques exemples

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercice 15.01

Semaine du 11/03/13

Mardi 12/03
10h-12h
Mercredi 13/03
16h-18h
Vendredi 15/03
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence de suites
  • Théorème de la limite monotone
  • Suites croissantes majorées, suites décroissantes minorées
  • Suites adjacentes : définition et théorème
  • Approximation d'un réel par une suite de rationnels

III - Comparaison de suites

  • Suites équivalentes : définition, caractérisation
  • Exemples
  • Suites négligeables : définition, caractérisation
  • Exemples et propriétés

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence de suites
  • Croissances comparées des suites usuelles
  • Propriétés des “petit o”
  • Suites dominées devant une autre : définition
  • Exemple classique : tex:\left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \longrightarrow e^x

IV - Suites récurrentes du type tex:u_{n+1} = f(u_n)

  • Définition d'une suite récurrente
  • Problème : la suite est-elle “bien définie” ?
  • Intervalles stables par une fonction
  • Lien entre les points fixes et la limite éventuelle
  • Représentation graphique d'une suite récurrente
  • Si f est croissante, alors la suite est monotone
  • Si f est décroissante, étude des suites extraites

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Convergence de suites

Exercice 14.07, 14.08, 14.09, 14.12

Semaine du 18/02/13

Mardi 19/02
10h-12h
Mercredi 20/02
08h-10h
Vendredi 22/02
10h-11h30
15h-16h30
Samedi 23/02
08h-12h

EXERCICES

Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle

Exercice 13.12, 13.13

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence de suites
I - Suites usuelles
  • Rappels : suite croissante/décroissante
  • Rappels : suite majorée/minorée/bornée
  • Rappels : suites arithmétiques, géométriques
  • Rappels : suites arithmético-géométrique, méthode
  • Suites récurrentes linéaires doubles
  • Equation caractéristique associée
  • Expression explicite en fonction du signe de tex:\Delta

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence de suites
  • Exemples de suites récurrentes linéaires doubles

II - Convergence de suites

  • Suite convergeant vers un réel : définition avec les epsilon
  • Suite divergeant vers tex:\infty ou tex:- \infty
  • Suite divergente
  • Opérations sur les limites : somme, produit, inverse, FI
  • Composition de limites par une fonction
  • Limites et inégalités
  • Théorèmes d'encadrement, théorèmes de comparaison
  • Limites et valeurs absolues

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence de suites
  • Suites extraites : définition
  • Suites extraites d'indices pairs/impairs
  • Lien entre les convergences de (u_n) et des suites extraites

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Convergence de suites

Exercice 14.01, 14.02, 14.03, 14.04, 14.05

DEVOIRSS

DS06 - 4h

Semaine du 11/02/13

Lundi 11/02
08h-10h
Mardi 12/02
10h-12h
Vendredi 14/02
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle
I - Fonctions de classe tex:\mathcal{C}^n
  • Rappels : fonction dérivable en un point
  • Fonction dérivable sur I, fonction de classe tex:\mathcal{C}^1
  • Fonction de classe tex:\mathcal{C}^n, fonction de classe tex:\mathcal{C}^\infty
  • Exemples : dérivée n-ième d'un polynôme, de exp, ln, cos, sin
  • Somme, produit de fonctions de classe tex:\mathcal{C}^n, formule de Leibniz
  • Composition de fonctions de classe tex:\mathcal{C}^n, réciproque d'une fonction tex:\mathcal{C}^n bijective
  • Théorème de prolongement, théorème Limite de la Dérivée

EXERCICES

Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle

Exercice 13.01

COURS

CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle
II - Théorème de dérivation
  • Condition nécessaire d'extremum local
  • Théorème de Rolle
  • Théorème des Accroissements Finis
  • Inégalités des Accroissements Finis (plusieurs formes)
  • Conséquence : variations d'une fonction et signe de la dérivée

III - Convexité

  • Définition/caractérisation avec les tangentes
  • Lien avec la dérivée et la dérivée seconde
  • La fonction ln est concave : inégalité tex:\ln(x) \leq x-1
  • La fonction exp est convexe : inégalité tex:\exp(x) \geq x+1

EXERCICES

Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle

Exercices 13.03, 13.04, 13.07, 13.09, 13.10

Semaine du 04/02/13

Lundi 04/02
08h-10h
Mardi 05/02
10h-12h
Mercredi 06/02
16h-17h30

COURS

CHAPITRE 12 - Applications linéaires
  • Théorème du rang
  • Si dim(E)=dim(F), alors f injective ⇔ f surjective
  • Implications inj/surj/bij sur dim(E) et dim(F)
  • Image d'une famille libre par une appl.linéaire
  • f isomorphisme ⇔ l'image d'une base est une base

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercice 12.02

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercice 12.03, 12.04, 12.05

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercice 12.06, 12.07, 12.08

Semaine du 28/01/13

Lundi 28/01
08h-10h
Mardi 29/01
10h-12h
Vendredi 01/02
10h-11h30
15h-16h30

DEVOIR

DS5 - Interro de cours

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.14, 11.15, 11.16

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.17

COURS

CHAPITRE 12 - Applications linéaires
I - Généralités
  • Application linéaire de E dans F
  • Premières propriétés, exemples
  • Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes
  • Ensembles L(E,F), L(E), GL(E)
  • Noyau d'une application linéaire
  • Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E
  • Ker(f)={0} ⇔ f injective

COURS

CHAPITRE 12 - Applications linéaires
  • Image d'une application linéaire
  • Im(f) est un sous-espace vectoriel de F
  • Im(f)=F ⇔ f surjective
  • Si E=Vect(e1,…,en), alors Im(f)=Vect(f(e1),…,f(en))

II - Applications linéaires en dimension finie

  • Rang d'une application linéaire
  • Théorème du rang

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercices 12.01

Semaine du 21/01/13

Lundi 21/01
08h-10h
Mardi 22/01
10h-12h
Vendredi 25/01
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
  • Exemples de familles libres et liées
  • Familles de 1 vecteur, de 2 vecteurs
  • Familles de polynômes non nuls de degrés étagés
  • Une famille est liée ssi un vecteur est CL des autres
  • Dans une famille libre, l'écriture en CL est unique

II - Bases et dimension

  • Définition d'une base d'un espace vectoriel
  • Définition de la dimension d'un espace vectoriel
  • Définition d'un espace vectoriel de dimension finie
  • Premiers exemples : base canonique de Rn[X]

COURS

  • Base canonique de Rn
  • Base canonique de M_np(R)
  • Une famille libre a un cardinal inférieur à dim(E)
  • Une famille génératrice a un cardinal supérieur à dim(E)
  • Pour Card(B)=dim(E), B libre ⇔ B génératrice
  • Comment obtenir une base à partir d'une famille génératrice
  • Théorème de la base incomplète (à partir d'une famille libre)
  • SEV d'un EV de dimension finie : relations de dimensions
  • Si F inclus dans G, alors dim(F) < dim(G)
  • Si F inclus dans G et égalité des dimensions, alors F=G
  • Intersection de sous-espaces vectoriels : c'est un sev.

III - Somme de sous-espaces vectoriels

  • Définition de F+G. Exemples lorsqu'on connaît des Vect
  • Vect(B)+Vect(C)=Vect(BuC)
  • Formule de Grassmann
  • Définition d'une somme directe
  • Définition de sous-espaces supplémentaires
  • Différentes caractérisations de “F et G suppl. dans E”

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.9, 11.10, 11.12, 11.13

Semaine du 14/01/13

Lundi 14/01
08h-10h
Mardi 15/01
10h-12h
Vendredi 18/01
10h-11h30
15h-16h30

EXERCICES

Exercices Chap. 10 - Matrices

Exercices 10.9, 10.12, 10.15, 10.16, 10.17

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
I - Définitions
  • Structure de K-espace vectoriel
  • Exemples usuels
  • Familles de vecteurs
  • Combinaison linéaire de vecteurs
  • Notation Vect

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
  • Sous-espace vectoriel : définition
  • Exemples de sous-espaces vectoriels
  • Un sev est encore un K-ev
  • Un Vect est toujours un sev
  • Notion de famille génératrice
  • Propriétés des familles génératrices
  • Famille liée de vecteurs
  • Famille libre de vecteurs

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.6

Semaine du 07/01/13

Lundi 07/01
08h-10h
Mardi 08/01
10h-12h
Vendredi 11/01
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 10 - Matrices
I - Ensemble des matrices
  • Définitions et notations
  • Matrices colonnes, lignes, diagonales
  • Matrices triangulaires supérieures/inférieures
  • Matrices nulles, matrice identité d'ordre n
  • Addition de deux matrices, propriétés
  • Multiplication par un scalaire, propriétés
  • Combinaison linéaire de deux matrices
  • Produit matriciel : définition, exemples
  • Propriétés du produit de matrices
  • Puissances d'une matrice carrée
  • Matrices nilpotentes

COURS

CHAPITRE 10 - Matrices
  • Propriétés des puissances de matrices
  • Matrices commutantes
  • Formule du binôme de Newton, exemples
  • Transposée d'une matrice, propriétés
  • Ecriture matricielle d'un système linéaire

II - Matrices carrées inversibles

  • Définition, exemples
  • Propriétés des matrices inversibles
  • Matrice inversible et système de Cramer
  • Calcul de tex:A^{-1} en résolvant Y=AX

COURS

CHAPITRE 10 - Matrices
  • Inversibilité des matrices triangulaires
  • Opérations élémentaires sur les matrices
  • Définition de matrices équivalentes
  • Matrices équivalentes et inversibilité
  • Pivot de Gauss pour voir si A est inversible
  • Algorithme de Gauss-Jordan pour calculer tex:A^{-1}

EXERCICES

Exercices Chap. 10 - Matrices

Exercices 10.2, 10.3, 10.4, 10.6, 10.10

Semaine du 10/12/12

Lundi 10/12
08h-10h
Jeudi 13/12
10h-12h
Vendredi 14/12
08h-12h

EXERCICES

Exercices Chap. 8 - Dérivation et fonctions trigo

Exercices 8.05, 8.06, 8.07, 8.08, 8.10

COURS

CHAPITRE 9 - Systèmes linéaires
I - Vocabulaire
  • Equations linéaires, systèmes linéaires
  • Système incompatible, système de Cramer
  • Ecriture de l'ensemble des solutions

COURS

CHAPITRE 9 - Systèmes linéaires
I - Vocabulaire
  • Systèmes à paramètres : paramètres, inconnues

II - Pivot de Gauss

  • Systèmes équivalents
  • Opérations élémentaires
  • Méthode du pivot
  • Exemples

EXERCICES

Exercices Chap. 9 - Systèmes linéaires

Exercices 9.01, 9.02, 9.03

DEVOIRS

DS4 CB1(4h)

Semaine du 03/12/12

Lundi 03/12
08h-10h
Mardi 04/12
10h-12h
Vendredi 07/12
10h-11h30
15h-16h30

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections

Exercice 7.02

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo
I - Dérivabilité en un point
  • Rappels : nombre dérivé, tangente
  • Somme, produit, quotient
  • Dérivée d'une composée
  • Dérivée de la réciproque
  • Dérivabilité en 0 et équivalent

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo
II - Fonctions circulaires
  • Fonction sinus : définition, dérivée, équivalent, graphe
  • Fonction cosinus : définition, dérivée, équivalent, graphe
  • Fonction tangente : définition, dérivée, équivalent, graphe

III - Fonctions circulaires réciproques

  • Fonction Arcsin : définition, propriétés, dérivée, graphe
  • Fonction Arccos : définition, propriétés, dérivée, graphe

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo
  • Fonction Arctan : définition, propriétés, dérivée, graphe

EXERCICES

Exercices Chap. 8 - Dérivation et fonctions trigo

Exercices 8.02, 8.03, 8.04

Semaine du 26/11/12

Lundi 26/11
08h-10h
Mardi 27/11
10h-12h
Vendredi 30/11
13h30-17h30
Samedi 01/12
10h00-11h30

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents

Exercice 6.05, 6.06, 6.07

COURS

CHAPITRE 7 - Bijections et continuité
I - Images et antécédants
  • Rappels : images et antécédants
  • Rappels : image directe, image réciproque
  • Applications injectives : définition, exemples
  • Cas des fonctions strictement monotones
  • Applications surjectives : définition, exemples
  • Applications bijectives : définition.
  • Une application bijective est inversible
  • Si f est injective, alors f réalise une bijection de E dans f(E)

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents

Exercice 6.05, 6.06, 6.07

COURS

CHAPITRE 7 - Bijections et continuité
II - Continuité
  • Rappels : continuité en un point
  • Continuité sur un intervalle
  • Stabilité par somme,produit,inverse,composée
  • Image d'un intervalle par une fonction continue
  • Théorème des Valeurs Intermédiaires
  • Expression de f(I) lorsque f est monotone
  • Fonction continue sur un segment
  • Théorème de la bijection monotone
  • Application aux équations du type f(x)=0

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections

Exercice 7.09

DEVOIRS

DS3 (4h)

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections

Exercices 7.01, 7.02, 7.07, 7.08, 7.12

Semaine du 19/11/12

Lundi 19/11
08h-10h
Mardi 20/11
10h-12h
Vendredi 23/11
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 6 - Limites
II - Opérations sur les limites
  • Somme, produit, inverse, quotient
  • Formes indéterminées
  • Unicité de la limite
  • Propriétés entre limite et ordre
  • Théorèmes de comparaison
  • Théorème d'encadrement (des gendarmes)
  • Produit fonction bornée / fonction tendant vers 0

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et équivalents
  • Théorème de la limite monotone
  • Cas où f croissante/majorée, etc…
  • Lien entre limite et borne sup/inf

III - Equivalents

  • Définition de f(x) équivalent à g(x)
  • Caractérisation avec la limite du quotient
  • Premiers exemples
  • Polynômes au vois. de l'infini
  • Fonctions rationnelles au vois. de l'infini
  • Cas des fonctions dérivables
  • tex:exp(x) au voisinage de 0
  • tex:ln(x) au voisinage de 1
  • tex:ln(1+x) au voisinage de 0
  • tex:(1+x)^\alpha-1 au voisinage de 0
  • Propriétés des équivalents (produit, inverse, puissance…)
  • On ne somme pas les équivalents, on ne compose pas
  • Cas particulier : composition par le logarithme

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et équivalents
IV - Branches infinies
  • Asymptotes horizontales
  • Asymptotes verticales
  • Asymptotes obliques
  • Cas général : branches paraboliques de directions asymptotiques (Ox), (Oy), (y=ax)

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents

Exercice 6.03, 6.04, 6.05

Semaine du 12/11/12

Mardi 13/11
10h-12h
Mercredi 14/11
08h-10h
Vendredi 16/11
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 5 - Fonctions
III - Vocabulaire des fonctions
  • Ensemble de définition
  • Parité, imparité
  • Axes et centres de symétrie
  • Périodicité
  • Majorants, minorants
  • Maximums, minimums
  • Borne sup, borne inf

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercices 5.05, 5.06, 5.07

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercices 5.04, 5.12

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et équivalents
I - Limites d'une fonction
  • Voisinage d'un réel
  • Voisinage de l'infini
  • Limite finie en un réel
  • Ecriture avec les epsilon
  • Continuité en un point
  • Fonction prolongeable par continuité
  • Limite infinie en un réel
  • Limite finie/infinie en l'infini

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercice 5.01

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents

Exercice 6.03

Semaine du 22/10/12

Lundi 22/10
08h-10h
Mardi 23/10
10h-12h
Vendredi 26/10
10h-11h30
15h-16h30
Samedi 27/10
08h-12h

EXERCICES

Exercices Chap. 4 - Polynômes

Exercices 4.4, 4.5, 4.7

COURS

CHAPITRE 5 - Fonctions
I - Applications
  • Définitions, images, antécédants
  • Ensembles de départ, ensembles d'arrivée
  • Images directes, images réciproques

EXERCICES

Exercices Chap. 4 - Polynômes

Exercices 4.13

COURS

CHAPITRE 5 - Fonctions
  • Images directes, images réciproques
  • Composition d'applications
  • Applications inversibles

II - Fonctions usuelles

  • Fonction valeur absolue
  • Fonction partie entière
  • Fonction racine carrée
  • Fonction inverse

COURS

CHAPITRE 5 - Fonctions
  • Fonction logarithme népérien
  • Fonction exponentielle
  • Fonctions puissances

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercice 5.01

DEVOIRS

DS2 (4h)

Semaine du 15/10/12

Lundi 15/10
08h-10h
Mardi 16/10
10h-12h
Mercredi 17/10
16h-17h30
Vendredi 19/10
10h-11h30
15h-16h30

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 3.9, 3.11, 3.12

COURS

CHAPITRE 4 - Polynômes
  • Définition : polynôme, degré
  • Exemples, polynôme nul
  • Ensembles K[X], R[X], C[X]
  • Somme de deux polynômes
  • Multiplication par un scalaire

COURS

CHAPITRE 4 - Polynômes
  • Produit de polynômes
  • Substitution de X dans un polynôme
  • Polynôme dérivé, polynôme dérivé k-ième

II - Division dans K[X]

  • Divisibilité de A par B
  • Division euclidienne de deux polynômes
  • Preuve de l'unicité de la D.E.
  • Racines d'un polynôme
  • Factorisation de P par X-a

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 3.10, 3.13

COURS

CHAPITRE 4 - Polynômes
  • Factorisation de P par X-a
  • Racines multiples d'un polynôme
  • Lien avec les dérivées successives
  • Factorisation dans C[X] et R[X]
  • Théorème de D'Alembert-Gauss
  • Racines complexes des polynômes de R[X]

Semaine du 08/10/12

Lundi 08/10
08h-10h
Mardi 09/10
10h-12h
Mercredi 10/10
16h-17h30
Vendredi 12/10
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
  • Racines carrées d'un complexe
  • Recherche d'une solution sous forme algébrique
  • Résolution d'une équation du second degré
  • Factorisation d'un trinôme du second degré
  • Relations coefficients racines
  • Racines n-ièmes de l'unité : définition
  • Expression explicite des racines n-ièmes de l'unité
  • Exemples : définition du nombre j

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
  • Somme des racines n-ièmes de l'unité
  • Racines n-ièmes d'un complexe non nul
  • Résolution de l'équation tex:z^n = Z

III - Trigonométrie

  • Fonctions cos, sin, tan
  • Propriétés de parité, de périodicité
  • Propriétés de symétrie
  • Equation cos(a)=cos(b)
  • Equation sin(a)=sin(b)

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 3.10, 3.13

EXERCICES

SOUTIEN L/ES
Introduction aux nombres complexes
  • Résolution d'équations du second degré
  • Recherche de racines carrées d'un complexe
  • Recherche des racines n-ièmes d'un complexe

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 3.6, 3.8

Semaine du 01/10/12

Lundi 01/10
08h-10h
Mardi 02/10
10h-12h
Mercredi 03/10
16h-17h30
Vendredi 05/10
10h-11h30

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
I - Le corps C des complexes
  • Définition : partie réelle et imaginaire
  • Propriétés des Re et Im
  • Conjugué d'un complexe : inverse d'un complexe
  • Module d'un complexe
  • Propriétés, inégalité triangulaire
  • Exponentielle complexe : repérage sur le cercle

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
  • Relation fondamentale : tex:e^{i\theta} = \cos(\theta)+i \sin(\theta)
  • Propriétés des exponentielles complexes
  • Formule de Moivre, Formules d'Euler
  • Exemple de formule trigonométrique
  • Forme exponentielle/trigonométrique d'un complexe
  • Exemples
  • Valeurs des cos et sin remarquables

II - Equations dans C

  • Formule du Binôme
  • Formule tex:a^n - b^n

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 2.1, 2.2, 2.7

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Nombres complexes

Exercices 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7

Semaine du 24/09/12

Lundi 24/09
08h-10h
Mardi 25/09
10h-12h
Mercredi 26/09
16h-17h30
Vendredi 28/09
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
III - Propriétés des coefficients binomiaux
  • Formule de symétrie
  • Formule de récurrence
  • Formule de Pascal
  • Formation du Triangle de Pascal
  • Formule de Vandermonde
  • Formule du Binôme de Newton
  • Cardinal de P(E)

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement

Exercices 2.6, 2.7, 2.8

COURS

SOUTIEN L/ES
Introduction aux nombres complexes
  • Lectures sur le cercle trigonométrique
  • Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
  • Cos et Sin particuliers

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement

Exercices 2.9, 2.10
Montrer que tex:\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n 2^{n-1}

Semaine du 17/09/12

Lundi 17/09
08h-10h
Mardi 18/09
10h-12h
Mercredi 19/09
16h-17h30
Vendredi 20/09
10h-11h30
15h-16h30

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
I - Théorie des ensembles tex:\Sigma
  • Ensembles, éléments, appartenance
  • Exemples usuels, notations
  • Ensembles finis : cardinal
  • Inclusion d'ensembles : propriétés
  • Intersection et réunion d'ensembles
  • Partitions d'un ensemble
  • Formule du Crible

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
  • Complémentaire d'une partie
  • Produit cartésien d'ensembles

II - Dénombrement

  • Dénombrement des p-listes
  • Arrangements et permutations
  • Combinaisons, coefficients binomiaux
  • Formule explicite pour “p parmi n”

COURS

SOUTIEN L/ES
Introduction aux nombres complexes
  • Conjugué d'un nombre complexe
  • Inverse d'un nombre complexe
  • Calculs de produits et de fractions de complexes

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement

Exercices 2.1, 2.2, 2.5
Exo supp : grilles au loto
Exo supp : délégations d'une entreprise

Semaine du 10/09/12

Lundi 10/09
08h-10h
Mardi 11/09
10h-12h
Mercredi 12/09
16h-17h30
Vendredi 14/09
10h-11h30
15h-16h30
Samedi 15/09
10h15-12h15

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences
III - Notation tex:\Sigma
  • Définition et propriétés
  • Changements d'indices
  • Sommes télescopiques
  • Sommes classiques tex:\Sigma k, \Sigma k^2, \Sigma k^3, \Sigma q^k
  • Notation tex:\Pi
  • Factorielle d'un entier

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences
IV - Suites classiques
  • Suites arithmétiques
  • Définition, forme explicite, somme des termes
  • Suites géométriques
  • Définition, forme explicite, somme des termes
  • Suites arithmético-géométriques
  • Méthode pour obtenir une forme explicite

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences

Exercice 1.9

COURS

SOUTIEN L/ES
Introduction aux nombres complexes
  • Définition d'un nombre complexe
  • Partie réelle et partie imaginaire
  • Somme et produit de nombres complexes

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences

Exercice 1.4, 1.6, 1.8, 1.9

DEVOIRS

DS1 (2h)

Semaine du 03/09/12

Mardi 04/09
10h-12h
Mercredi 05/09
16h-18h
Vendredi 07/09
10h-11h30
15h-16h30
Présentation du cours

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences
I - Introduction aux suites
  • Définitions : suite finie, suite infinie
  • Différents types : explicite, récurrente, implicite
  • Suites monotones : Introduction du tex:\forall
  • Suites majorées,minorées : Introduction du tex:\exists
  • Exemples

II - Raisonnement par récurrence

  • Récurrence simple
  • Récurrence double
  • Exemples

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences

Exercices 1.1, 1.2, 1.5, 1.7
mat813/cdt1213.1370713122.txt.gz · Dernière modification: 08/06/2013 17:38 (modification externe)