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Cahier de Textes Maths Hypokhâgne B/L Parc 2011/2012

Vous trouverez ici le cahier de textes mis à jour régulièrement du cours de mathématiques.

Semaine du 18/06/12

Mardi 19/06
12h-13h
Mercredi 20/06
08h-10h

Semaine du 11/06/12

Mardi 12/06
12h-13h
15h-16h
Mercredi 13/06
08h-10h
Vendredi 15/06
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 19 - Intégrales impropres

Exercices 19.01, 19.02

COURS

CHAPITRE 20 - Séries numériques
I - Vocabulaire des séries
  • Sommes partielles, série, somme
  • Exemple : Achille et la tortue
  • Si la série converge, le t.g. tend vers 0
  • Exemples : série géométrique
  • Exemples : série exponentielle
  • Exemples : série harmonique

EXERCICES

Exercices Chap. 19 - Intégrales impropres

Exercices 19.02, 19.05

COURS

CHAPITRE 20 - Séries numériques
II - Séries et sommes usuelles
  • Séries géométriques et dérivées
  • Séries exponentielles
  • Séries de Riemann

III - Critères de convergence pour les séries à termes positifs

  • Comportement des sommes partielles
  • Critère de comparaison
  • Critère de négligeabilité
  • Critère d'équivalence

IV - Convergence absolue

  • Définition : série absolument convergente
  • Théorème : ACV ⇒ CV

EXERCICES

Exercices Chap. 20 - Séries

Exercices 20.01, 20.02

Semaine du 04/06/12

Mardi 05/06
12h-13h
15h-16h
Mercredi 06/06
08h-10h
Vendredi 08/06
13h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction

Exercices 18.06, 18.09

COURS

CHAPITRE 19 - Intégrales impropres
I - Intégrales impropres
  • Définition : sur [a,b[, sur [a,+infini[,…
  • Intégrales impropres convergentes, divergentes
  • Exemples usuels
  • Relation de Chasles pour les intégrales convergentes

II - Critères de convergence pour les fonctions positives

  • Exemple primordial : intégrales de Riemann
  • Théorème de comparaison
  • Théorème d'équivalence
  • Théorème de négligeabilité

III - Absolue convergence

  • Fonctions de signes non constant
  • Intégrales absolument convergentes
  • Théorème : CVA ⇒ CV

DEVOIRS

DS8 - 4h

Semaine du 28/05/12

Mardi 29/05
12h-13h
15h-16h
Mercredi 30/05
08h-10h
Vendredi 01/06
13h-15h

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction

Exercices 18.01, 18.02, 18.03

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction
  • Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
  • Les sous-espaces propres sont en somme directe
  • Il y a au plus n valeurs propres

III - Diagonalisation

  • Endomorphisme diagonalisable : diverses caractérisations
  • Matrice diagonalisable : diverses caractérisations
  • Cas particulier : n valeurs propres distinctes
  • Cas particulier : 1 seule valeur propre

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction

Exercices 18.05

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction
IV - Polynômes annulateurs
  • Polynôme en une matrice
  • Polynôme en un endomorphisme
  • Polynômes annulateurs
  • Liens avec l'inversibilité
  • Lien avec les valeurs propres

EXERCICES

Exercices Chap. 18 - Réduction

Exercices 18.03, 18.04, 18.07

Semaine du 21/05/12

Mardi 22/05
12h-13h
15h-16h
Mercredi 23/05
08h-10h
Vendredi 25/05
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 17 - Rang

Exercices 17.02, 17.03, 17.06

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction
I - Changement de bases
  • Matrice de passage d'une base à une autre
  • C'est une matrice inversible
  • Changement de coordonnées pour un vecteur
  • Changement de bases pour une appl.linéaire

EXERCICES

Exercices Chap. 17 - Rang

Exercices 17.06, 17.08

COURS

CHAPITRE 18 - Réduction
  • Changement de bases pour un endomorphisme
  • Matrices équivalentes : définition et caractérisations
  • Matrices semblables : définition et caractérisations
  • Principe de la réduction : trouver une matrice semblable simple
  • Matrice diagonalisable

II - Valeurs propres et vecteurs propres

  • Définitions pour un endomorphisme
  • Définitions pour une matrice carrée
  • Sous-espaces propres : écriture en noyaux
  • Lien entre valeur propre et inversibilité

Semaine du 14/05/12

Mercredi 16/05
08h-10h
Vendredi 18/05
15h-17h

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
  • Matrice d'un endomorphisme dans une base
  • A.L. canoniquement associée à une matrice
  • Isomorphisme entre appl.linéaires et matrices
  • Dimension de L(E,F)
  • Matrice d'une comb.linéaire d'appl.linéaires
  • Matrice d'une composée d'appl.linéaires
  • Matrices de Id, de l'application nulle

III - Matrices des images de vecteurs

  • Matrice de l'image d'un vecteur
  • Rappel sur Ker(f), définition de Ker(A)
  • Rappel sur Im(f), défintion de Im(A)

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
IV - Rang d'une matrice
  • Rappels sur les rangs d'une famille de vecteurs, d'une appl.linéaire
  • Rang d'une matrice : définition
  • Lien entre rang et bijectivité
  • Matrices échelonnées, lien avec les opérations élémentaires
  • Calcul du rang en pratique
  • Méthode pour déterminer Ker(f) et Im(f)

EXERCICES

Exercices Chap. 17 - Rang

Exercice 17.01

Semaine du 07/05/12

Lundi 07/05
16h-17h30
Mercredi 09/05
08h-10h
Vendredi 11/05
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - DL

Exercices 16.01, 16.03, 16.05

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - DL

Exercices 16.01, 16.03, 16.06

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
I - Représentation matricielle d'un vecteur
  • Rappels : familles libres, génératrices, bases
  • Coordonnées d'un vecteur dans une base
  • Matrice colonne représentant un vecteur
  • Exemples dans tex:\mathbb{R}^3 et tex:\mathbb{R}_4[X]
  • Décomposition dans la base de Taylor pour les polynômes

COURS

CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires
  • Rang d'une famille de vecteurs
  • Propriétés du rang : invariance par opérations élémentaires

II - Matrices d'une application linéaire

  • Image d'une base par une application linéaire
  • Matrice d'une application linéaire dans deux bases
  • Exemples

Semaine du 30/04/12

Mercredi 02/05
08h-10h
Vendredi 04/05
15h-17h
Samedi 05/05
08h-12h

COURS

CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et DL
III - Développements limités
  • Définition du DL d'ordre n
  • Partie régulière, reste
  • Premiers exemples
  • Formule de Taylor-Young
  • DL usuels
  • Somme et produit de DL

COURS

CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et DL
  • Composition de DL
  • Quotient de DL
  • Utilisation des DL pour l'étude locale
  • Continuité, dérivabilité, tangente, position

EXERCICES

Exercices Chap. 16 - DL

Exercices 16.01, 16.03

DEVOIRS

DS07 - Concours Blanc

  • Exercice 1 - Une suite d'intégrales (HEC ECT 97)
  • Exercice 2 - Deux changements de variables
  • Exercice 3 - Valeurs propres d'une matrice 3×3
  • Exercice 4 - Sous-espaces supplémentaires de R2[X]
  • Exercice 5 - Fonction définie par une intégrale (HEC BL 2005)
  • Exercice 6 - Endomorphismes nilpotents en dimension 3

Semaine du 02/04/12

Mardi 03/04
12h-13h
Mercredi 04/04
08h-10h
Vendredi 06/04
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.07, 15.19, 15.24

COURS

CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et DL
I - Formules de Taylor
  • Formule de Taylor-Polynôme
  • Formule de Taylor-Reste Intégral
  • Démonstration

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercice 15.15

COURS

CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et DL
  • Application : série exponentielle

II - Fonctions négligeables

  • Définition
  • Exemples : puissances en 0
  • Exemples : croissances comparées
  • Propriétés
  • Lien avec l'équivalence

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exemples de fractions rationnelles

Semaine du 26/03/12

Lundi 26/03
16h-17h
Mardi 27/03
12h-13h
Mercredi 28/03
08h-10h
Vendredi 30/03
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.04, 15.08, 15.09

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.04, 15.08, 15.09

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
II - Intégration sur un segment
  • Changements de variables
  • Positivité de l'intégrale
  • Fonction positive, d'intégrale nulle
  • Intégrale et valeur absolue

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
  • Intégrales des fonctions paires, impaires
  • Intégrales des fonctions périodiques

III - Sommes de Riemann

  • Subdivision d'un segment en n segments
  • Sommes de Riemann
  • Théorème de convergence

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.07, 15.13

Semaine du 19/03/12

Mardi 20/03
12h-13h
15h-16h
Mercredi 21/03
08h-10h
Vendredi 23/03
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment

Exercices 15.01, 15.02, 15.03, 15.05

DEVOIRS

DS06

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
II - Intégration sur un segment
  • Définition à l'aide d'une primitive
  • La définition ne dépend pas de la primitive
  • Exemples classiques
  • Intégrale fonction des bornes : dérivabilité
  • Linéarité, relation de Chasles
  • Intégrale d'une fonction continue par morceaux
  • Intégration par parties
  • Changement de variables

Semaine du 12/03/12

Mardi 13/03
12h-13h
15h-16h
Mercredi 14/03
08h-10h
Vendredi 16/03
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.17, 14.19

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
III - Comparaisons des suites
  • Suites équivalentes : définition, caractérisation
  • Exemples usuels : équivalents à connaître
  • Suites négligeables : définition, caractérisation
  • Relation tex:u_n \sim v_n \Leftrightarrow u_n - v_n = o(v_n)
  • Exemples usuels : croissances comparées
  • Propriétés des relations d'équiv. et négligeabilité
  • Suites dominées : définition, caractérisation

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.19

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
IV - Suites récurrentes tex:u_{n+1}=f(u_n)
  • Suites bien définies
  • Intervalles stables par f
  • Points fixes et continuité
  • Si f est croissante, la suite est monotone
  • Si f est décroissante, on étudies les suites extraites
  • Utilisation de l'IAF

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.18

COURS

CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment
I - Primitives d'une fonction
  • Définition d'une primitive
  • Elles diffèrent toutes d'une constante
  • Théorème fondamental de l'analyse
  • Primitives usuelles

Semaine du 05/03/12

Mardi 06/03
12h-13h
15h-16h
Mercredi 07/03
08h-10h
Vendredi 09/03
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.1, 14.4, 14.5, 14.6

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
  • Encadrements avec des valeurs absolues
  • Produit suite bornée, suite cv vers 0
  • Suites extraites, d'indices pairs/impairs
  • Théorème de la limite monotone
  • Suites adjacentes : définition et théorème
  • Suites d'entiers convergentes

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.7

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
  • Tout réel est la limite d'une suite de rationnels

EXERCICES

Exercices Chap. 14 - Suites

Exercices 14.7, 14.8, 14.12, 14.14, 14.17

Semaine du 27/02/12

Mardi 28/02
14h-16h
Mercredi 29/02
08h-10h
Vendredi 02/02
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle

Exercices 13.1 (dm), 13.2, 13.3, 13.4 (dm), 13.7

EXERCICES

Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle

Exercices 13.9, 13.10, 13.13

COURS

CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle
IV - Variations des fonctions
  • f croissante ⇔ f' positive
  • De même pour f décroissante, f constante
  • CNS pour f strictement monotone

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
I - Rappels : suites usuelles
  • Suites croissantes, décroissantes
  • Suites majorées, minorées, bornées
  • Suites arithmétiques : rappels, formules
  • Suites géométriques : rappels, formules
  • Suites arithmético-géométriques : méthode

COURS

CHAPITRE 14 - Convergence des suites
  • Suites arithmético-géométriques : exemples
  • Suites récurrentes linéaires doubles : méthode

II - Convergence des suites

  • Suites convergentes, divergentes
  • Opérations sur les limites, formes indéterminées
  • Composition par une fonction
  • Limites et valeur absolue
  • Limites et inégalités
  • Théorèmes de comparaison, d'encadrement

Semaine du 06/02/12

Mardi 07/02
12h-13h
15h-16h
Mercredi 08/02
08h-10h
Vendredi 10/02
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercices 12.2, 12.3

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercices 12.4, 12.5

COURS

CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle
I - Fonctions de classe C^n
  • Classe d'une fonction
  • Dérivées n-ièmes
  • Dérivée n-ième d'un polynôme
  • Dérivée n-ième d'une fonction inverse

COURS

CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle
  • Dérivée n-ième d'un logarithme, exponentielle
  • Dérivée n-ième d'un cosinus, sinus
  • Opérations : somme, composition, produit
  • Formule de Leibniz
  • Théorème Limite de la dérivée

II - Théorèmes de dérivation

  • Condition nécessaire d'extremum local
  • Théorème de Rolle
  • Théorème des Accroissements Finis
  • Inégalité des Accroissements Finis

III - Convexité d'une fonction

  • Vocabulaire : convexe/concave
  • exp est convexe : inégalité
  • ln est concave : inégalité

Semaine du 30/01/12

Mardi 31/01
14h-18h
Mercredi 01/02
08h-10h
Vendredi 03/02
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.12, 11.13, 11.15, 11.17

COURS

CHAPITRE 12 - Applications linéaires
I - Définitions
  • Applications linéaires : exemples
  • Endomorphismes, isomorphismes
  • Somme, composition

II - Image et noyau

  • Noyau : c'est un sev
  • f injective ⇔ Ker f = {0}
  • Image : c'est un sev
  • f surjective ⇔ Im f = F
  • Im(f) si on connait E=Vect(…)

COURS

CHAPITRE 12 - Applications linéaires
  • Im(f) si on connait E=Vect(…)
  • Définition : rang de f
  • Théorème du rang

III - Isomorphismes en dimension finie

  • Si dim(E)=dim(F), inj ⇔ surj
  • Image d'une famille libre
  • Groupe linéaire de E
  • isomorphisme ⇔ image d'une base est une base

EXERCICES

Exercices Chap. 12 - Applications linéaires

Exercice 12.01

Semaine du 23/01/12

Mardi 24/01
14h-16h
Mercredi 25/01
08h-10h
Vendredi 27/01
15h-17h
Samedi 28/01
08h-12h

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.03, 11.05

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
  • Liée ⇔ un vecteur est CL des autres
  • Une sous-famille d'une famille libre est libre
  • Ecriture unique dans une famille libre
  • Bases d'un EV : coordonnées
  • Bases canoniques de R^n, R_n[X], M_{n,p}(K)
  • Espaces vectoriels de dimension finie
  • Dimension des ev usuels

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.06

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
  • Cardinal et familles libres/génératrices
  • Cas des familles de cardinal n
  • Propriétés des bases
  • Dimension des sous-espaces vectoriels
  • Droites et plans vectoriels

III - Sommes de sous-espaces vectoriels

  • Sommes d'espaces vectoriels
  • Formule de Grassmann
  • Sommes directes : définition
  • Caractérisation : intersection nulle
  • Cas des ev de dimension finie

DEVOIRS

DS05
Mardi 17/01
14h-16h
Mercredi 11/01
08h-10h
Vendredi 13/01
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 10 - Matrices

Exercices 10.14, 10.17

COURS

CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels
I - Définitions
  • Structure d'espace vectoriel
  • Vocabulaire : vecteurs, scalaires
  • Exemples usuels
  • Familles de vecteurs, combinaisons linéaires
  • Notation Vect
  • Sous-espaces vectoriels : ce sont des ev
  • Sev engendré par une famille

II - Bases et dimension

  • Familles génératrices

COURS

  • Familles génératrices
  • Si un des vecteurs est CL des autres, on l'enlève de la famille génératrice
  • Familles libres, familles liées
  • Exemples : R^n, polynômes
  • Familles de polynômes étagés
  • Cas d'un vecteur, de deux vecteurs
  • Définition d'une base

EXERCICES

Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels

Exercices 11.02, 11.03

Semaine du 09/01/12

Mardi 10/01
14h-16h
Mercredi 11/01
08h-10h
Vendredi 13/01
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 10 - Matrices

Exercices 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.10

COURS

CHAPITRE 10 - Calcul matriciel
  • Propriétés des matrices inversibles
  • Groupe linéaire d'ordre n
  • Inverse d'un produit, d'une transposée
  • Lien matrices inversibles et systèmes
  • Matrices triangulaires/diagonales inversibles
  • Opérations élémentaires sur les matrices
  • Méthode du Pivot de Gauss
  • Algorithme de Gauss-Jordan

EXERCICES

Exercices Chap. 10 - Matrices

Exercices 10.9, 10.11, 10.12, 10.14, 10.15

Semaine du 03/01/12

Mardi 03/01
14h-16h
Mercredi 04/01
16h-18h
Vendredi 06/01
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 9 - Systèmes linéaires

Exercices 09.5, 09.6, 09.7

COURS

CHAPITRE 10 - Calcul matriciel
I - L'ensemble des matrices
  • Définition : matrices de tex:\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})
  • Cas particuliers : matrices carrées, lignes, colonnes
  • Matrices diagonales, triangulaires supérieures/inférieures
  • Matrice nulle, matrice identité
  • Somme de deux matrices de même taille
  • Multiplication par un scalaire
  • Combinaisons linéaires, propriétés
  • Produit matriciel, exemples.

EXERCICES

Exercices Chap. 9 - Systèmes linéaires

Exercices 09.5, 09.6, 09.7

COURS

CHAPITRE 10 - Calcul matriciel
I - L'ensemble des matrices
  • Définition : matrices de tex:\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})
  • Cas particuliers : matrices carrées, lignes, colonnes
  • Matrices diagonales, triangulaires supérieures/inférieures
  • Matrice nulle, matrice identité
  • Somme de deux matrices de même taille
  • Multiplication par un scalaire
  • Combinaisons linéaires, propriétés
  • Produit matriciel, exemples.

COURS

CHAPITRE 10 - Calcul matriciel
  • Produit matriciel, exemples.
  • Remarques : non commutativité, propriétés
  • Non intégrité : AB=0 n'implique pas A=0 ou B=0
  • Produit de matrices diagonales, triangulaires
  • Puissances d'une matrice. Matrices nilpotentes
  • Matrices qui commutent, calcul de (AB)^k
  • Formule du binôme de Newton
  • Transposée d'une matrice, propriétés
  • Ecriture matricielle d'un système linéaire

II - Matrices carrées inversibles

  • Définition, inversibilité à gauche et à droite
  • Exemples : matrices avec polynôme annulateur

Semaines du 05/12/11 et du 12/12/11

Mardi 06/12
10h-12h
14h-16h
Mercredi 07/12
08h-10h
Mardi 13/12
8h-12h

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigonométriques
III - Fonctions circulaires réciproques
  • Fonction Arcsin : définition
  • Dérivée, équivalent, graphe
  • Fonction Arccos : définition
  • Dérivée, équivalent, graphe
  • Fonction Arctan : définition
  • Dérivée, équivalent, graphe

EXERCICES

Exercices Chap. 8 - Dérivation

Exercices 08.1, 08.2, 08.3, 08.6, 08.7, 08.9, 08.10

COURS

CHAPITRE 9 - Systèmes linéaires
  • Systèmes linéaires
  • Systèmes incompatibles
  • Systèmes de Cramer
  • Systèmes triangulaires
  • Méthode du Pivot de Gauss

EXERCICES

Exercices Chap. 9 - Systèmes linéaires

Exercices 09.1, 09.2, 09.3

DEVOIR

DS4
  • Concours Blanc 1

Semaine du 28/11/11

Mardi 29/11
14h-16h
Mercredi 30/11
08h-10h
Vendredi 02/12
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité

Exercices 07.1, 07.2, 07.3

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigonométriques
I - Dérivabilité en un point
  • Fonction dérivable
  • Lien avec la tangente
  • Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient
  • Dérivée d'une composée

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité

Exercices 07.3, 07.4

COURS

CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigonométriques
  • Dérivée d'une réciproque
  • Exemples avec ln/exp.

II - Fonctions circulaires

  • Fonction sinus : définition, propriétés
  • Dérivation. Equivalent en 0
  • Fonction cosinus : définition, propriétés
  • Dérivation. Equivalent en 0
  • Fonction tangente : définition, propriétés
  • Dérivation. Equivalent en 0

EXERCICES

Exercices Chap. 8 - Dérivation

Exercice 08.5

Semaine du 21/11/11

Mardi 22/11
14h-16h
Mercredi 23/11
08h-10h
Vendredi 25/11
15h-17h
Samedi 26/11
08h-12h

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites

Exercices 06.4, 06.5

COURS

CHAPITRE 7 - Bijections et continuité
I - Images et antécédents
  • Rappels : images et antécédents
  • Image directe d'une partie de E
  • Image réciproque d'une partie de F
  • Application injective
  • Cas des fonctions strictement monotones
  • Application surjective
  • Liens avec les cardinaux
  • Application bijective
  • Application réciproque si bijective

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites

Exercices 06.6

COURS

CHAPITRE 7 - Bijections et continuité
II - Continuité
  • Rappels : continuité en un point
  • Continuité sur un intervalle
  • Opérations sur les fonctions continues
  • Image d'un intervalle par une fonction continue
  • Application : Théorème des valeurs intermédiaires
  • Existence d'une solution à f(x)=0
  • Cas des fonctions monotones
  • Théorème de la bijection
  • Existence d'une unique solution à f(x)=0

EXERCICES

Exercices Chap. 7 - Continuité

Exercices 07.5, 07.7, 07.9

Semaine du 14/11/11

Mardi 15/11
14h-16h
Mercredi 16/11
08h-10h
Vendredi 18/11
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 6 - Limites

Exercices 06.1

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et comparaisons des fonctions
I - Limite d'une fonction
  • Limite d'une fonction en l'infini

II - Opérations sur les limites

  • Sommes, produits, quotients
  • Formes indéterminées : puissances
  • Unicité de la limite
  • Limite et ordre dans R
  • Théorèmes d'encadrement
  • Théorème de la limite monotone

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et comparaisons des fonctions
III - Fonctions équivalentes
  • Définition, équivalence avec “quotient tend vers 1”
  • Equivalents et limites
  • Cas des polynômes
  • Cas des fonctions dérivables
  • Equivalents usuels
  • Règles des équivalents : produit, quotient, chgt de variable
  • Ce qu'on ne peut pas faire : somme, composition, passage à exp
  • Un cas particulier : composition par ln

IV - Branches infinies d'une fonction

  • Asymptotes verticales, horizontales, oblique
  • Méthode générale de recherche des B.I.
  • Branches paraboliques de directions asymptotiques…

Semaines du 03/11/11 et du 07/11/11

Vendredi 04/11
15h-17h
Mardi 08/11
14h-16h
Mercredi 09/11
08h-10h

COURS

CHAPITRE 5 - Applications et fonctions
III - Cas des fonctions réelles
  • Fonctions paires, impaires
  • Symétries par rapport à un axe
  • Symétries par rapport à un point
  • Fonctions périodiques
  • Fonctions monotones, bornées
  • Maximum et minimum
  • Borne supérieure, borne inférieure

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercices 05.1, 05.2, 05.3

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercices 05.7, 05.8, 05.9

EXERCICES

Exercices Chap. 5 - Fonctions

Exercices 05.9, 05.10

COURS

CHAPITRE 6 - Limites et comparaisons des fonctions
I - Limite d'une fonction
  • Voisinage d'un réel, de tex:\pm \infty
  • Limite d'une fonction en un réel : limite finie ou infinie
  • Limite à droite, limite à gauche
  • Continuité en un point,
  • Fonction prolongeable par continuité

Semaine du 17/10/11

Mardi 18/10
14h-16h
Mercredi 12/10
08h-10h
16h-18h
Vendredi 14/10
13h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 4 - Polynômes

Exercices 04.8, 04.10, 04.12

COURS

CHAPITRE 5 - Applications et fonctions
I - Vocabulaire des fonctions
  • Définition d'une application
  • Images, antécédents
  • Composition d'applications
  • Applications inversibles, réciproque
  • Exemples
  • Rappels : continuité, dérivabilité

II - Fonctions usuelles

  • Fonction valeur absolue
  • Fonction partie entière
  • Fonction carré
  • Fonction inverse
  • Fonction racine carrée
  • Fonction logarithme
  • Fonction exponentielle
  • Fonctions puissances

DEVOIRS

DS 2
  • Exercice : Factorisation de polynômes
  • Exercice : somme trigonométrique
  • Exercice : une récurrence avec des binomiaux
  • Exercices de dénombrement
  • Problème : résolution d'équations dans C
  • Problème : polynômes et sommes à calculer

Semaine du 10/10/11

Mardi 11/10
08h-10h
14h-16h
Mercredi 12/10
08h-10h
16h-18h

COURS

CHAPITRE 4 - Polynômes
I - L'ensemble K[X]
  • Définition, degré, corps K
  • Ensemble K[X], ensemble K_n[X]
  • Théorème d'identification
  • Somme; multiplication par un scalaire, produit
  • Propriétés des degrés
  • Polynôme dérivé, dérivées successives
  • Dérivée d'une somme, d'un produi
  • Substitution d'un polynôme, dérivée

II - Division dans K[X]

  • Relation de Divisibilité

EXERCICES

Exercices Chap. 4 - Polynômes

Exercices 04.1, 04.2, 04.3

COURS

CHAPITRE 4 - Polynômes
  • Polynômes irréductibles
  • Division euclidienne
  • Preuve de l'unicité
  • Lien avec la divisibilité
  • Racines d'un polynôme
  • Factorisation par X-a
  • Racines multiples
  • Décompositions dans C[X] et R[X]

EXERCICES

Exercices Chap. 4 - Polynômes

Exercices 04.4, 04.5, 04.10, 04.11

Semaine du 03/10/11

Mardi 04/10
14h-16h
Mercredi 05/10
08h-10h
16h-18h
Vendredi 07/10
13h-15h

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Complexes

Exercice 03.3, 03.4

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
  • Racines n-ièmes de l'unité
  • Caractérisation : nombre et forme
  • Racines cubiques : nombre j
  • Racines n-ièmes d'un complexe
  • Cas particulier : racines carrées
  • Equation du second degré
  • Relations coefficients-racines

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
III - Trigonométrie
  • Fonction cos, fonction sin
  • Relation tex:\cos^2(x)+\sin^2(x)=1
  • Parité, périodicité
  • Formules de symétrie, en particulier tex:\cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)
  • Résolution tex:\cos(x)=\cos(y)
  • Résolution tex:\sin(x)=\sin(y)
  • Fonction tangente : domaine de définition
  • Parité, périodicité

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Complexes

Exercice 03.5, 03.6, 03.7, 03.8, 03.9

Semaine du 26/09/11

Mardi 27/09
14h-16h
Mercredi 28/09
08h-10h
16h-18h
Vendredi 30/09
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Dénombrement

DM3, Exercices 02.11

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
I - Le corps C
  • Définition, forme algébrique
  • Partie réelle, imaginaire
  • Addition, multiplication
  • Interprétation graphique
  • Conjugué d'un complexe
  • Propriétés des conjugués
  • Inverse, structure de corps
  • Module d'un complexe
  • Propriétés, Inégalité triangulaire
  • Interprétation graphique
  • Ensemble U, exponentielle complexe

COURS

CHAPITRE 3 - Nombres complexes
  • Forme exponentielle d'un complexe
  • Forme trigonométrique d'un complexe
  • Propriétés
  • Formule de Moivre
  • Formules d'Euler
  • Cosinus et sinus remarquables

II - Equations dans C

  • Binôme de Newton
  • Formule tex:a^n - b^n

EXERCICES

Exercices Chap. 3 - Complexes

Exercice 03.01

Semaine du 19/09/11

Mardi 20/09
14h-16h
Mercredi 21/09
08h-10h
16h-18h
Vendredi 23/09
15h-17h

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Dénombrement

Exercices 02.5, 02.6

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
III - Coefficients binomiaux
  • Formule de symétrie
  • Formule de Pascal
  • démo calcul et dénombrement
  • Triangle de Pascal
  • Formule du binôme de Newton
  • démo calcul et dénombrement

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Dénombrement

Exercice 02.3

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
  • Formule de récurrence
  • Formule de Vandermonde
  • démo dénombrement
  • Applications du binôme
  • Formules usuelles
  • Cardinal de P(E)

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Dénombrement

Exercice 02.10

Semaine du 12/09/11

Lundi 12/09
08h-10h
Mardi 13/09
14h-16h
Mercredi 14/09
16h-18h
Vendredi 16/09
15h-17h
Samedi 17/09
10h-12h

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
I - Théorie des ensembles
  • Ensembles, éléments, exemples
  • Cardinal d'un ensemble fini
  • Parties d'un ensemble, propriétés
  • Egalité de deux ensembles
  • Ensemble P(E)
  • Intersection, réunion de deux ensembles
  • Propriétés et généralisations
  • Partition d'un ensemble
  • Formule du crible n=2 ou n=3
  • Complémentaire d'une partie

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercices 01.4 (2,3) et 01.6

SOUTIEN

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercice 01.4 (4,5)

COURS

CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement
  • Produit cartésien d'ensembles
  • Retour sur les p-listes
  • Cardinal d'un produit cartésien

II - Dénombrement

  • p-listes avec répétition
  • p-listes sans répétition
  • Nombre de p-arrangements
  • Permutations : notation n!
  • Combinaisons : dénombrement
  • Notation “p parmi n”
  • Cas particuliers

EXERCICES

Exercices Chap. 2 - Dénombrement

Exercice 02.4

DEVOIR

DS1

Sommes, suites, récurrences

Semaine du 05/09/11

Mardi 06/09
14h-16h
Mercredi 07/09
08h-10h
Jeudi 08/09
08h-10h
14h-16h
Vendredi 09/09
14h-16h

COURS

INTRODUCTION
Présentation du cours de mathématiques.
Fonctionnement, notation, site web.

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercice 01.5

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes, récurrences.
I - Introduction aux suites
  • p-listes, suites infinies
  • Suites croissantes, décroissantes
  • Suites majorées, minorées, bornées
  • Introduction des quantificateurs

II - Les sommations et produits

  • Symbole sigma : propriétés
  • Sommes de 1, changements d'indice
  • Principe des dominos
  • Symbole pi : propriétés

III - Raisonnement par récurrence

  • Enoncé du principe

SOUTIEN

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercices 01.1 et 01.5

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes, récurrences.
  • Sommes classiques :
  • Somme des k, des k^2, des k^3
  • Somme des q^k
  • Principe de récurrence double

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercices 01.7 et 01.9 (début)

COURS

CHAPITRE 1 - Suites, sommes, récurrences.
IV - Suites classiques
  • Suites arithmétiques
  • Suites géométriques
  • Suites arithmético-géométriques

EXERCICES

Exercices Chap. 1 - Suites, sommes, récurrences

Exercices 01.5 et 01.9
mat813/cdt.1339777371.txt.gz · Dernière modification: 15/06/2012 16:22 (modification externe)