Programme de mathématiques en B/L
Le programme officiel de mathématiques est rédigé pour les deux années. Le partage entre l'hypokhâgne et la khâgne est laissé au choix de l'enseignant.
I - ALGEBRE LINEAIRE
Les nombres complexes ne figurent pas de ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations
, le module et l'argument d'un produit, l'inégalité triangulaire, la résolution de l'équation du second degré à coefficients réels et de l'équation
, l'affixe d'un point et d'un vecteur.
A - Espaces vectoriels et applications linéaires
Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels.
Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme.
Espaces vectoriels de dimension finie ;
Bases, rang d'une application linéaire ;
Somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires
B - Calcul matriciel
Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée
Matrices carrées d'ordre n ; groupe des matrices inversibles.
Matrice d'une application linéaire ;
Effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables
C - Systèmes d'équations linéaires
Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l'inverse d'une matrice carrée
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice carrée.
Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes :
Recherche d'une forme triangulaire
Recherche de l'inverse d'une matrice carrée
Résolution d'un système de n équations linéaires à p inconnues
Les déterminants ne sont pas au programme.
D - Valeurs propres et vecteurs propres
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée)
Toute somme de sous-espaces propres est directe
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si l'espace est somme directe des sous-espaces propres
La notion de polynôme caractéristique n'est pas au programme.
La réduction des matrices à la forme triangulaire n'est pas au programme.
II - ANALYSE
A - Suites et séries de nombres réels
Enoncé des propriétés de R (admises)
Suites de nombres réels. Suites monotones;
Suites définies par une relation de récurrence
Convergence d'une série.
Somme.
Séries à termes positifs, comparaison de deux séries.
Séries à termes réels, convergence absolue.
B - Continuité et dérivation
C - Fonctions usuelles
D - Intégration
La présentation n'est pas imposée ; on peut admettre qu'une fonction continue possède une primitive
E - Méthodes d'approximation
F - Fonctions de plusieurs variables
Fonctions numériques de plusieurs variables
Dérivées partielles d'ordre un et deux
Théorème de Schwarz
Différentielle.
Fonctions homogènes, théorème d'Euler.
Conditions nécessaire (du premier ordre) pour un extremum libre.
Extrema liés dans le cas d'une contrainte linéaire.
III - PROBABILITES ET STATISTIQUES
Dans tout ce paragraphe, on mettra l'accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités, événements, variables aléatoires, indépendance), les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats.
A - Fondements des probabilités
On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection, complémentaire, partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions.
Analyse combinatoire.
Permutations, arrangements et combinaisons (sans répétition).
Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal
Probabilités discrètes
Epreuve, ensemble des résultats de l'épreuve (univers), tribu (ou sigma-algèbre) des événements
Définition d'une probabilité, additivité
On se limitera au cas où les événements sont les parties de l'univers et l'on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires.
B - Variables aléatoires
On n'insistera pas sur les aspects théoriques, l'important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept.
On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A2 et A3.
L'égalité doit être connue des candidats, sans qu'ils aient à la justifier.
C - Statistique descriptive et statistique inférentielle