Programme de mathématiques en B/L

Le programme officiel de mathématiques est rédigé pour les deux années. Le partage entre l'hypokhâgne et la khâgne est laissé au choix de l'enseignant.

I - ALGEBRE LINEAIRE

Les définitions d'un groupe et d'un corps (au sens de corps commutatif) seront données, à l'exclusion de toute théorie relative à ces notions. Le corps de base est R ou C.

Les nombres complexes ne figurent pas de ce programme pour eux-mêmes, mais comme outils. Sont à connaître les règles élémentaires de calcul, les notations $tex:Re(z), Im(z), \bar{z}, |z|$ , le module et l'argument d'un produit, l'inégalité triangulaire, la résolution de l'équation du second degré à coefficients réels et de l'équation , l'affixe d'un point et d'un vecteur.

A - Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels.
Applications linéaires, noyau, image ; isomorphisme.
Espaces vectoriels de dimension finie ;
Bases, rang d'une application linéaire ;
Somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires

B - Calcul matriciel

Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; matrice transposée
Matrices carrées d'ordre n ; groupe des matrices inversibles.
Matrice d'une application linéaire ;
Effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables

C - Systèmes d'équations linéaires

Systèmes de Cramer, lien avec le calcul de l'inverse d'une matrice carrée
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice carrée.
Méthode du pivot de Gauss appliquée aux questions suivantes :
- Recherche d'une forme triangulaire
- Recherche de l'inverse d'une matrice carrée
- Résolution d'un système de n équations linéaires à p inconnues

Les déterminants ne sont pas au programme.

D - Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d'un endomorphisme (ou d'une matrice carrée)
Toute somme de sous-espaces propres est directe
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si l'espace est somme directe des sous-espaces propres

La notion de polynôme caractéristique n'est pas au programme. La réduction des matrices à la forme triangulaire n'est pas au programme.

II - ANALYSE

A - Suites et séries de nombres réels

Enoncé des propriétés de R (admises)
Suites de nombres réels. Suites monotones;
Suites définies par une relation de récurrence $tex:u_{n+1}=f(u_n)$
Convergence d'une série.
Somme.
Séries à termes positifs, comparaison de deux séries.
Séries à termes réels, convergence absolue.

B - Continuité et dérivation

Fonctions numériques d'une variable réelle
- Notion de limite. Théorèmes sur les limites
- Continuité d'une fonction. Enoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration)
- Fonctions monotones.
- Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
Notion de dérivée.
- Calcul des dérivées.
- Dérivée d'une fonction composée, d'une fonction réciproque
- Fonction dérivée, dérivées d'ordre supérieur
Théorème des accroissements finis
- Théorème des accroissements finis
- Sens de variation d'une fonction dérivable

C - Fonctions usuelles

Fonctions polynômes, fonctions rationnelles.
- Théorème de D'Alembert (admis)
- Degré.
- Définition de la division euclidienne (admis).
- Zéros (ou racines) d'un polynôme, divisibilité par
- Ordre de multiplicité d'un zéro.
- Décomposition d'un polynôme réel sur C et sur R (existence et unicité admises)

La construction formelle des polynômes et fractions rationnelles n'est pas au programme, pas plus que les notions de PGCD, PPCM, polynômes premiers entre eux. Aucun résultat sur la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples n'est à connaître.

Fonctions circulaires et circulaires réciproques.

En dehors des formules $tex:\cos^2 x + \sin^2 x =1$ , $tex:\displaystyle \sin(x)= \cos\left( \frac{\pi}{2}-x\right)$ , $tex:\displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ , aucune formule de trigonométrie autre que celles résultat des symétries des fonctions tex:cos, sin, tan n'est à mémoriser.

Fonctions logarithmes et exponentielles.
Fonctions puissances, fonction $tex:t \mapsto \exp(it)$ , formules de Moivre et d'Euler.
Comparaison, pour x tendant vers l'infini, des fonctions , et $tex:\ln(x)$

D - Intégration

Intégration sur un segment
- Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction continue
- Lien avec les primitives
- Inégalité de la moyenne

La présentation n'est pas imposée ; on peut admettre qu'une fonction continue possède une primitive

Intégrales généralisées
- Intégration d'une fonction continue sur un intervalle non compact
- Convergence, convergence absolue.
Calcul de primitives et d'intégrales
- Changement de variables
- Intégration par parties
- Exemples, exercices simples d'intégration de fonctions (fonctions rationnelles, produit exponentielle-polynôme)

E - Méthodes d'approximation

Approximation locale des fonctions
- Formule de Taylor-Young
- Développements limités
- Applications à la recherche de limites
Comparaison d'une série et d'une intégrale
- Séries de Riemann

F - Fonctions de plusieurs variables

Fonctions numériques de plusieurs variables
Dérivées partielles d'ordre un et deux
Théorème de Schwarz
Différentielle.
Fonctions homogènes, théorème d'Euler.
Conditions nécessaire (du premier ordre) pour un extremum libre.
Extrema liés dans le cas d'une contrainte linéaire.

III - PROBABILITES ET STATISTIQUES

Dans tout ce paragraphe, on mettra l'accent sur la correspondance entre le vocabulaire et les notions intuitives (probabilités, événements, variables aléatoires, indépendance), les exemples, les techniques de calcul et non sur la justification théorique des résultats.

A - Fondements des probabilités

On introduira le vocabulaire indispensable relatif aux ensembles : réunion, intersection, complémentaire, partition. Aucun exercice ou problème ne portera exclusivement sur ces notions.

Analyse combinatoire.
- Permutations, arrangements et combinaisons (sans répétition).
- Formule du binôme de Newton et triangle de Pascal
Probabilités discrètes
- Epreuve, ensemble des résultats de l'épreuve (univers), tribu (ou sigma-algèbre) des événements
- Définition d'une probabilité, additivité

On se limitera au cas où les événements sont les parties de l'univers et l'on procédera par addition des probabilités des événements élémentaires.

Probabilité conditionnelle
- Définition, propriétés
- Formule $tex:P(B) = \sum P(A_i) P(B | A_i)$
- Formule de Bayes
- Indépendance de deux, de n événements

B - Variables aléatoires

On n'insistera pas sur les aspects théoriques, l'important étant la maîtrise intuitive et opératoire du concept.

Variables aléatoires discrètes
- Variables aléatoires où l'ensemble des valeurs est fini ou inclus dans $tex:\mathbb{Z}$ .
- Loi de probabilité, fonction de répartition, définie par $tex:F(x) = P(X \leq x)$
- Exemples, variable certaine, loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson.
Variables aléatoires à densité
- Densité de probabilité, fonction de répartition
- Loi uniforme sur un segment, loi exponentielle, loi normale

On se limitera au cas où la fonction de répartition est continue sur $tex:\mathbb{R}$ et admet, sauf peut-être en un nombre fini de points, une dérivée continue. On étendra au cas des variables aléatoires à densité le langage et les résultats des paragraphes A2 et A3.

L'égalité $tex:\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) dt = \sqrt{2 \pi}$ doit être connue des candidats, sans qu'ils aient à la justifier.

Paramètres de position et de dispersion
- Espérance, variance, écart type
Couples de variables aléatoires discrètes
- Loi d'un couple : lois marginales, lois conditionnelles.
- Covariance.
- Couple de variables aléatoires indépendantes, variance de leur somme
- Extension à n variables.

C - Statistique descriptive et statistique inférentielle

Statistique descriptive élémentaire
- Echantillon de n observations d'une variable numérique.
- Description de la répartition des valeurs : diagrammes en bâtons, histogrammes.
- Paramètres de position : moyenne, médiane, quartiles.
- Paramètres de dispersion : variance, écart type, écarts interquantiles.
Statistique inférentielle
- Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance
- Notion d'estimateur : biais et variance d'un estimateur.
- Enoncé (sans démonstration) de la loi faible des grands nombres et du théorème de la limite centrée.
- Notion d'intervalle de confiance sur une moyenne et une proportion