====== Préparation Agrégation de Sciences Economiques et Sociales (ENS Lyon) ======

Vous trouverez ici les documents relatifs à la préparation à l'oral de Mathématiques, pour la formation d'Agrégation Externe de Sciences Economiques et Sociales de l'ENS Lyon.

Les séances ont lieu à l'ENS de Lyon :
  * Chaque jeudi entre 9h et 11h : colles/exercices sur le cours vu la semaine précédente.
  * Chaque jeudi entre 11h et 13h : cours.


===== Cahier de Textes =====

^ Date      ^ Séance  ^  Horaires   ^   SALLE ENS  ^  Détail  ^ Documents distribués  ^
^ 13/10/11  |  1   |  09h-12h  |  F023  | **1 - Suites**  \\ Suites arithmétiques, géométriques  \\ Suites arithmético-géométriques  \\ Suites monotones, majorées  \\ Suites convergentes  \\ Suites récurrentes linéaires doubles  \\ Révisions fonctions exp et ln  \\ Révisions équations 2d degré  | Rapports de jury  |
^ 20/10/11  |  2   |  09h-12h  |  F020  | Sommes des termes suite arithmétique  \\ Sommes des termes suite géométrique  \\ Suites adjacentes  \\ Limites des suites, formes indéterminées  \\  \\ **2- Fonctions**  \\ Définitions, images, antécédents  \\ Fonctions injectives, surjectives, bijectives  \\ Fonctions continues, dérivables, convexes, concaves  \\ Fonctions affines et linéaires  \\ Fonctions polynômes du second degré  \\ Fonction inverse  \\ Dérivées usuelles  |  | 
^ 27/10/11  |  3   |  09h-12h  |  F020  | Dérivée d'une somme, d'un produit  \\ Dérivée d'une composée  \\ Equivalents usuels  \\ Croissances comparées  \\ Primitives d'une fonction continue  \\ Intégrale d'une fonction, aire sous la courbe  \\ Relation de Chasles, cas des fonctions bornées  \\ Valeur moyenne d'une fonction  \\ Intégration par parties  \\   \\ **3 - Calcul matriciel**  \\ Définition, addition, multiplication par un scalaire  \\ Produit de deux matrices  \\ Matrices inversibles, calcul d'une inverse par opérations sur les lignes.    |  |
^           ^      ^        ^  ^  ^ ^
^ 10/11/11  |  4   |  09h-12h  |  F111  | Raisonnement par récurrence.  \\ Puissances de matrices, matrices diagonales \\ Matrices et systèmes linéaires.  \\  \\ **4 - Probabilités**  \\ Vocabulaire : expérience, issus, univers, événements  \\ Fréquence d'apparition d'un événement, probabilité  \\ Propriétés des probabilités  \\ Situation d'équiprobabilité : issues favorables et nombre total d'issues  \\ Probabilités conditionnelles : définiton  \\ Formule des probabilités composées  \\ Formule des probabilités totales  \\ Formules de Bayes    |  |
^ 17/11/11  |  5   |  09h-12h  |  F020  | **5 - Séries**  \\ Définitions : suite, somme partielle  \\ Séries convergentes et séries convergentes  \\ Séries géométriques  \\ Séries exponentielles  \\ Séries de Riemann  \\ Calcul de sommes  |  |
^ 24/11/11  |  6   |  09h-12h  |  F116  | **6 - Variables aléatoires discrètes**  \\ Définitions : loi de probabilité  \\ Espérance, variance et écart-type  \\ Loi uniforme (situation d'équiprobabilité)  \\ Loi de Bernoulli, Loi Binomiale \\ Rappels sur les coefficients binomiaux  \\ Espérance et variance d'une somme  \\ Application : espérance et variance de la loi binomiale  \\ Exercice : loi géométrique  |  |
^ 01/12/11  |  7   |  09h-12h  |  F108  | Retour sur les processus aléatoires  \\ Loi de Poisson  \\ Espérance et variance  \\ Approximation binomiale-Poisson  \\ Lecture de tables statistiques  \\ Tables individuelles ou cumulatives    |  |
^ 08/12/11  |  8   |  09h-12h  |  F020  | **7 - Espaces vectoriels**  \\ Définitions : vecteurs, combinaisons linéaires  \\ Exemples, sous-espaces vectoriels  \\ Ecriture en Vect, familles génératrices  \\ Familles libres et familles liées  \\ Base d'un espace vectoriel, dimension  \\ Rang d'une famille de vecteurs  \\ Lien avec l'écriture matricielle : on échelonne en zéros  |  |
^           ^      ^        ^  ^  ^ ^
^ 05/01/12  |  9  |  09h-12h  |  F119  | **8 - Statistiques descriptives univariées**  \\ Vocabulaire : population, individus, effectif  \\ Caractères qualitatifs, quantitatifs discrets/continus  \\ Mode, classe modale d'une série statistique  \\ Moyen de représentation : diagrammes en bâtons, histogrammes, diagrammes circulaires  \\ Courbe des effectifs cumulés, courbe des fréquences cumulées  \\ Histogrammes à classes de longueur constante, de longueur variable  \\  Caractères de dispersion : médiane, quartiles, déciles  \\ Diagrammes en boîte (boîtes à moustache)  \\ Moyenne et écart-type d'une série statistique  |  |
^ 12/01/12  |  10  |  09h-12h  |  F119  | **9 - Statistiques descriptives bivariées**  \\ Mode de représentation : nuage de points  \\ Point moyen d'une série de deux variables  \\ Droite des extrêmes, droite de Mayer  \\ Covariance de la série, coefficient de corrélation linéaire  \\ Droite de régression linéaire  \\  \\ **10 - Couples de variables aléatoires discrètes**  \\ Loi conjointe d'un couple, lois marginales  \\ Covariance d'un couple, coefficient de corrélation linéaire  \\ Variables aléatoires indépendantes  \\ Espérance d'une somme, d'un produit  \\ Variables aléatoires non corrélées  |  |
^ 19/01/12  |  11  |  09h-12h  |  F119  | **11 - Intégrales impropres**  \\ Révisions des primitives usuelles  \\ Intégration par parties  \\ Intégrales impropres convergentes  \\ Exemples : Riemann, exponentielle  \\  \\ **12 - Variables aléatoire à densité**  \\ Fonction de répartition d'une variable aléatoire  \\ Cas où la F.R. est continue : densité de probabilité  \\ Propriétés des fonctions de répartition, des densités  \\ Comment reconnaître une densité de probabilité  \\ Exemple : loi exponentielle, espérance  |  |
^ 26/01/12  |  12  |  09h-12h  |  F119  | Rappels sur fonction de répartition et densités  \\ Loi uniforme et loi exponentielle  \\ Loi normale centrée réduite, loi normale quelconque  \\  \\ **13 - Applications linéaires**  \\ Définition : applications linéaires, exemples  \\ Noyau d'une application linéaire  \\ Rappels sur les bases d'un espace vectoriel  \\ Matrice d'une application linéaire dans une base  \\ Vecteurs propres d'une application linéaire  |  |
^ 02/02/12  |  13  |  09h-12h  |  F119  | Matrices de passages entre deux bases  \\ Formules de changement de bases  \\ Introduction aux déterminants de taille 2,3  \\   \\ **14 - La loi normale**  \\ Rappels : densité de probabilité loi N(0,1)  \\ Fonction de répartition d'une loi N(0,1)  \\ Lecture de tables statistiques  \\ Propriétés de symétries, formules  \\ Centrage/réduction d'une loi normale quelconque   |   |
^ 16/02/12  |  14  |  09h-12h  |  F116  | Rappels sur la loi normale  \\ Théorème central limite   \\   \\ **15 - Statistiques inférentielles**  \\ Vocabulaire : échantillon, estimateur  \\ Exemples d'estimateurs  \\ Biais, risque quadratique d'un estimateur  \\ Moyenne empirique : c'est un bon estimateur de l'espérance  \\ Variance empirique : estimateur biaisé de la variance  \\ Variance empirique modifiée : bon estimateur de la variance  \\ Intervalle de confiance pour une moyenne/proportion  |  |
^ 24/02/12  |  15  |  09h-12h  |  F04  | Intervalle de confiance pour une moyenne pour écart-type connu  \\ Intervalle de confiance pour une moyenne pour écart-type inconnu  \\ Test statistique pour une moyenne  \\ Hypothèse de rejet, hypothèse alternative  \\ Statistique de test, zone de rejet  |  |
^  PAUSE ECRITS  ^^^^^^
^ 26/04/12  |  16  |  09h-12h  |  F101  | //Révisions - Correction des exercices//  \\ Déterminants, liens avec les matrices inversibles  \\ Méthode du pivot de Gauss  \\ Puissances des matrices diagonales  \\ Limites de suites  \\ Densités et fonctions de répartitions  \\ Approximation binomiale/poisson/normale  \\ Estimateurs et intervalles de confiance  \\   \\ **16 - Diagonalisation**  \\ Principe de la diagonalisation  \\ Valeurs propres et vecteurs propres  \\ Matrice de passage   |  |
^ 03/05/12  |  17  |  09h-12h  |  F101  | //Révisions - Correction des exercices//  \\ Calculs de dérivées, de primitives  \\ Valeur moyenne d'une fonction, intégration par parties  \\ Approximation binomiale/Normale  \\ Lois d'un couple, lois marginales  \\ Fonctions de répartitions et densités, loi exponentielle  \\   \\  Retour sur valeurs propres et vecteurs propres  \\ Exemples de diagonalisations de matrices  \\ Lien avec les endomorphismes  |  |
^ 04/05/12  |  18  |  09h-12h  |  F001  | Calculs de déterminants  \\ Polynôme caractéristique : factorisation d'un polynôme  \\ Développement par rapport à une ligne, à une colonne  \\ Déterminants de taille 4 ou plus  \\  \\ **17 - Fonctions de deux variables**  \\ Fonctions de deux variables : c'est une surface  \\ Dérivées partielles d'ordre 1  \\ Dérivées partielles d'ordre 2  \\ Gradiant en un point, Matrice hessienne en un point  \\ Recherche d'extremums : points critiques  \\ Vérification des extremums : déterminant de la hessienne  \\ Notations de Monge : r,s,t. Liens avec les extremums  |  |
^ 08/05/12  |  19  |  13h30-16h30  |  F119  | //Oral Blanc et correction//  \\ Calculs de dérivées, de primitives  \\ Minimum de variables aléatoires  \\   \\ **18 - Géométrie du plan**  \\ Equations de droites : cas général  \\ Points et vecteurs dans le plan  \\ Distance entre deux points, norme d'un vecteur  \\ Vecteurs directeurs, normaux à une droite  \\ Projection orthogonale d'un point sur une droite   |   |
^ 10/05/12  |  20  |  09h-12h  |  F004  | //Oral Blanc et correction//  \\ Systèmes probabilistes évolutifs, formule des probabilités totales  \\ Rappels sur la diagonalisation  \\ Théorème de la limite centrée, intervalles de confiance  \\  \\ **19 - Régression linéaire par moindres carrés**  \\ Nuage de points, explication du principe  \\ Rappels sur variances et covariances  \\ Lien avec les fonctions de deux variables  \\ Points critiques et extremums : droite de régression  \\  \\ **20 - Analyse en composantes principales**  \\ Nuage de points, explication du principe  \\ Matrice de variance/covariance  \\ Valeurs propres et axes principaux  \\ Composantes principales sur les axes factoriels  \\ Corrélations linéaires, cercle des corrélations  |  |
^ 11/05/12  |  21  |  09h-12h  |  F101  | //Oral Blanc et correction//  \\ Extremums d'une fonction de 2 variables  \\ Valeurs propres et vecteurs propres : conditions de diagonalisation  \\  \\  Retour sur l'analyse en composantes principales  \\ Explication du principe  \\ Lecture du cercle des corrélations   |  |
^ 18/05/12  |  22  |  09h-13h  |  F101  | //Oral Blanc et correction//  \\ Analyse en composante principale : qualité de la représentation  \\ Stabilité de la loi de Poisson, de la loi binomiale  \\ Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice   \\   \\ **21 - Optimisation sous contrainte**  \\ Rappels sur les extremums d'une fonction de plusieurs variables  \\ Cas de deux variables, extension au cas général  \\ Principe de l'optimisation sous une contrainte d'égalité  \\ 1ère méthode : par substitution  \\ 2ème méthode : par multiplicateurs de Lagrange   |  |
^ 24/05/12  |  23  |  09h-13h  |  F023  | //Oral Blanc et correction//  \\ Retour sur le vocabulaire probabiliste  \\ Estimation par intervalles de confiance  \\  \\ **22 - Manipulation d'un tableur**  \\ Remplissage de données  \\ Calcul de sommes, de moyennes, d'écarts-types  \\ Créations de formules automatisées  \\ Tracé d'une droite de régression linéaire  \\  \\ **23 - Tests statistiques du Chi Deux**  \\ Retour sur les tests statistiques  \\ Hypothèse nulle, hypothèse alternative  \\ Risques de première et de seconde espèce  \\ Test d'adéquation du Chi Deux  \\ Degrés de liberté d'un test d'adéquation   |  |
^ 25/05/12  |  24  |  09h-13h  |  F101  | Exemple d'adéquation à une loi normale  \\ Test d'indépendance du Chi Deux  \\  \\ **24 - Le modèle linéaire**  \\ Explication du modèle  \\ Le modèle linéaire simple : hypothèses  \\ Retour sur les estimateurs des moindres carrés  \\ Sommes des carrés : SCT, SCE, SCR, Coefficient de détermination  \\ Le modèle linéaire multiple : explications  \\ Tests d'hypothèses sur le modèle linéaire  \\ Test de Student de nullité d'un coefficient  \\ Test de Fisher de significativité globale   |  |
^ 28/05/12  |  25  |  09h-12h  |  F001  | **25 - Indices statistiques**  \\ Courbe de Lorenz et coefficient de Gini  \\ Calcul approché d'intégrales : méthodes des rectangles/trapèzes  \\ Coefficient d'évolution : indice élémentaire, valeur globale  \\ Indice de Laspeyres : un facteur est fixé au départ  \\ Indice de Paasche : un facteur est fixé à l'arrivée  \\ Indice de Fisher  \\ Moyennes arithmétiques, géométriques, harmoniques  \\ Interprétation des indices Laspeyres, Paasche, Fisher en terme de moyennes  |  |
^ 31/05/12  |  26  |  09h-13h  |  F004  |   |  |
^ 01/06/12  |  27  |  09h-13h  |  F004  |   |  |

===== Programme officiel de l'épreuve =====

Le programme de mathématiques de terminale doit être très bien assimilé.  \\
S’ajoutent à ces contenus des approfondissements qui font partie du programme de Licence de sciences économiques et sociales, ainsi que des programmes d’enseignement statistiques de second cycle.

=== Analyse ===

  * Fonction numérique d'une variable réelle : continuité, dérivabilité, tableau de variations, graphe, convexité. Primitives, calcul intégral. Développements limités, formule de Taylor.
  * Fonction numérique de plusieurs variables : dérivées partielles, gradient, différentielle d'ordre 1 et 2. Intégrales doubles
  * Optimisation d'une fonction de plusieurs variables. Multiplicateurs de Lagrange
  * Suites : sens de variation, convergence. Suites récurrentes, suites arithmétiques, géométriques. Application aux mathématiques financières.
  * Séries : définition, convergence, cas des séries de terme général : <tex> q^n, \displaystyle  \frac{q^n}{n!},  \left( \frac{1}{n}\right)^k </tex>

=== Algèbre et géométrie ===

  * Espaces et sous-espaces vectoriels de dimension finie : bases, dimension : exemple <tex> \mathbb{R}^2, \mathbb{C} </tex>.
  * Applications linéaires : noyau, image, rang. Matrice d'une application linéaire.
  * Opérations sur les matrices. Changement de base, diagonalisation.
  * Résolution d'un système linéaire d’équations.
  * Produit scalaire, distance, norme. Projection orthogonale.
  * Equation de droites dans le plan, de plans dans l’espace.

=== Calcul des probabilités ===
  * Evénements aléatoires, probabilité dans le cas d'un univers fini ou infini.
  * Probabilités conditionnelles, théorème de Bayes, événements indépendants.
  * Variables aléatoires discrètes ou continues. Fonction de répartition. Densité de probabilité.
  * Moments centrés ou non centrés (moyenne, écart type). Espérance mathématique d'une fonction d'une variable aléatoire. Quantiles d'ordre p.
  * Loi de probabilité de variables aléatoires usuelles : uniforme, binomiale, Poisson, gaussienne (normale), exponentielle. Théorème central limite.
  * Variables aléatoires à valeurs dans <tex> \mathbb{R}^2 </tex> : loi du couple (cas discret ou continu), covariance, coefficient de corrélation linéaire.
  * Matrice de variance covariance, de corrélation pour p variables aléatoires.

=== Statistiques ===

  * Variable statistique unidimensionnelle (qualitative ou quantitative) : moyenne, écart type, coefficient de variation, de symétrie. Quartiles, quantiles d'ordre p. Graphiques : diagrammes, boites à pattes (boxplot), histogrammes.
  * Statistique descriptive multidimensionnelle :
    * Cas de p variables quantitatives : matrice de covariance, de corrélation linéaire, analyse en composantes principales, régression linéaire multiple.
    * Analyse des correspondances simples dans le cas de deux variables qualitatives.
  * Statistique inférentielle :
    * Estimateur : propriétés, estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance.
    * Tests d'hypothèses : risques d'erreur, région critique. Application au test du chi-deux (ajustement à une loi, liaison de deux variables qualitatives)
  * Modèle linéaire (cas de la régression linéaire simple ou multiple) : estimateur des moindres carrés, test de Student de signification des coefficients de régression.
  * Lecture de sorties de logiciels dans le cas de traitements informatiques de données. Interprétation des résultats d'une analyse statistique unidimensionnelle ou multidimensionnelle de données socio-économiques.