======= Cahier de Textes Maths Khâgne B/L Parc 2011/2012 ======
Vous trouverez ici le cahier de textes mis à jour régulièrement du cours de mathématiques.
===== Semaines du 29/05/12 et du 04/06/12 =====
^ Mardi 29/05/12 \\ 10h-12h ^ Lundi 04/06 \\ 14h-18h ^ Mardi 05/06 \\ 10h-12h ^
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**CHAPITRE 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\
IV - Extremums
* Extremum libre
* Points critiques
* Conditions nécessaires
* Extremas liés par une contrainte linéaire
* Résolution par substitution
* Lagrangien, multiplicateur de Lagrange
**Exercices Chap. 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\ \\
Exercices 15.6, 15.7, 15.9 \\
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**ORAUX ENS** \\
* Sujet 127 - Exercice 1 (Etude d'une fonction)
* Sujet 127 - Exercice 2 (Estimateurs, loi binomiale négative)
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**ORAUX ENS** \\
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===== Semaine du 21/05/12 =====
^ Lundi 21/05 \\ 14h-16h ^ Lundi 21/05 \\ 16h-18h ^ Mardi 22/05 \\ 10h-12h ^
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**CHAPITRE 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\
I - Topologie élémentaire
* Notion de distance dans R^n
* Notion de boule ouverte dans R^n
* Notion d'ouvert dans R^n
II - Fonctions de plusieurs variables
* Applications partielles
* Dérivées d'ordre 1, différentielle
**Exercices Chap. 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\ \\
Exercice 15.1 \\
**ORAUX ENS** \\
* Sujet 124 - Exercice 1 (Applications bilinéaires alternées)
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**CHAPITRE 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\
I - Topologie élémentaire
* Notion de distance dans R^n
* Notion de boule ouverte dans R^n
* Notion d'ouvert dans R^n
II - Fonctions de plusieurs variables
* Applications partielles
* Dérivées d'ordre 1, différentielle
**Exercices Chap. 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\ \\
Exercice 15.1 \\
**ORAUX ENS** \\
* Sujet 116 - Exercice 2 (Exercice d'analyse)
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**CHAPITRE 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\
* Dérivées d'ordre 2, théorème de Schwarz
* Théorème de composition (non exigible)
III - Fonctions homogènes
* Définition, degré d'homogénéité
* Exemples usuels
* Théorème d'Euler
**Exercices Chap. 15 - Fonctions de plusieurs variables** \\ \\
Exercices 15.3, 15.4, 15.5 \\
**ORAUX ENS** \\
* Sujet 136 - Exercice 2 (Estimateurs sans biais, lois binomiales)
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===== Semaine du 14/05/12 =====
^ Lundi 14/05 \\ 14h-16h ^ Lundi 14/05 \\ 16h-18h ^
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**ORAUX ENS** \\
* Sujet 146 - Exercice 1 (Réduction)
* Sujet 118 - Exercice 2 (Moments Loi N(0,1))
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**ORAUX ENS** \\
* Sujet 140 - Exercice 2 (Suites)
* Sujet 150 - Exercice 2 (Dénombrement)
* Sujet 125 - Exercice 1 (Cauchy-Schwarz)
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===== Semaine du 02/04/12 =====
^ Lundi 02/04 \\ 14h-18h ^ Mardi 03/04 \\ 10h-12h ^ Mercredi 04/04 \\ 12h-14h ^
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**REVISIONS** \\
* Fonctions de deux variables
* Dérivées partielles d'ordre 1 et 2
* Ouverts de R^2
* Conditions d'extremums
* Trace d'une matrice
* Produit de deux matrices
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**DR05 - ENS 2011 Pb** \\
* Parties A,B,C (Matrices stochastiques)
**REVISIONS** \\
* Opérations élémentaires
* Conditions de diagonalisabilité
* Montrer qu'un ensemble est un sev
* Montrer qu'une application est linéaire
* Somme directe de deux sev
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**DR06 - Statistiques** \\
**REVISIONS** \\
* Tracés d'histogrammes
* Moyennes, variances, écarts types
* Médiane, quartiles, boîtes à moustaches
* Courbe des effectifs cumulés
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===== Semaine du 26/03/12 =====
^ Lundi 26/03 \\ 14h-16h ^ Mardi 27/03 \\ 10h-12h ^ Mercredi 28/03 \\ 12h-14h ^ Vendredi 30/03 \\ 13h-14h ^
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**DR03 - ESSEC 2011 Pb 2** \\
* Partie 3 (Fonction caractéristique)
**DR04 - ENS 2005 Pb 1** \\
* Partie 1 (Equation fonctionnelle)
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**DR04 - ENS 2005 Pb 1** \\
* Partie 2 (Variables sans mémoire et loi exponentielle)
**REVISIONS** \\
* Fonctions majorées, bornées
* Borne supérieure, borne inférieure
* Racines n-ièmes de l'unité
* Notion de groupe, de sous-groupe
* Loi exponentielle, densité, fonction de répartition
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**DR04 - ENS 2005 Pb 1** \\
* Partie 3 (Somme de variables à densité)
**REVISIONS** \\
* Minimum de deux variables aléatoires
* Somme de deux variables aléatoires discrètes
* Calcul de P(X+Y=k)
* Somme de deux variables à densité
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**REVISIONS** \\
* Convergence des suites arithmétiques et géométriques
* Loi conditionnelle dans un couple de variables aléatoires
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===== Semaine du 19/03/12 =====
^ Lundi 19/03 \\ 14h-18h ^ Mardi 20/03 \\ 10h-12h ^ Mercredi 21/03 \\ 12h-14h ^ Vendredi 23/03 \\ 13h-14h ^
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**DR02 - HEC 2010 Pb 2** \\
* Partie 3 (DA en o(1/n^2) de H_n)
**DM18 - Révisions** \\
* Correction (ENSAI 2004)
**REVISIONS** \\
* Développements limités
* Nombres complexes : formules
* Formules d'Euler et Moivre
* Trigonométrie : formules d'addition
* Linéarisation de cosinus ou sinus
* Opérations élémentaires sur les matrices
* Valeurs propres d'une matrice
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**DR03 - ESSEC 2011 Pb 2** \\
* Partie 1 (Réduction d'une matrice)
**REVISIONS** \\
* Images et noyaux d'une matrice
* Liens matrices/applications
* Diagonalisabilité et valeurs propres
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**DR03 - ESSEC 2011 Pb 2** \\
* Partie 2 (Matrice aléatoire avec des lois géométriques)
**REVISIONS** \\
* Définition d'une probabilité, d'une variable aléatoire
* Rappels sur la loi géométrique
* Comment chercher P(X=Y)
* Covariance et indépendance
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**DR03 - ESSEC 2011 Pb 2** \\
* Partie 3 (Fonction caractéristique)
**REVISIONS** \\
* Loi normale : densité générale
* Loi normale centrée réduite
* Variance d'une somme, variance d'une différence
* Relation z \bar{z} = |z|^2
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===== Semaine du 12/03/12 =====
^ Lundi 12/03 \\ 14h-18h ^ Mardi 13/03 \\ 10h-12h ^ Mercredi 14/03 \\ 12h-14h ^ Vendredi 16/03 \\ 13h-14h ^
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**DR01 - ENS 2007 Pb** \\
* Partie 4 (Noyaux itérés d'un endo.nilpotent)
* Partie 5 (Endo. nilpotents en dim. 2 et 3)
**REVISIONS** \\
* Restriction d'une application linéaire
* Image et noyau d'une restriction
* Dimensions des espaces vectoriels
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**DR02 - HEC 2010 Pb 1** \\
* Partie 1 (H_n = ln(n) + gamma + o(1))
**REVISIONS** \\
* Théorème de Rolle
* Théorème/Inégalité des Accroissements Finis
* Suites équivalentes, négligeables, dominées
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**DR02 - HEC 2010 Pb 1** \\
* Partie 1 (fin) + Partie 2 (début)
**REVISIONS** \\
* Convergence des séries
* Critères pour les séries à termes positifs
* Convergence d'une suite avec les epsilon
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**DR02 - HEC 2010 Pb 1** \\
* Partie 2 (fin)
**REVISIONS** \\
* Inégalités triangulaires dans C
* Comparaison série-intégrale
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===== Semaines du 27/02/12 et du 05/03/12 =====
^ Samedi 03/03 \\ 08h-12h ^ Lundi 05/03 \\ 14h-18h ^ Mardi 06/03 \\ 10h-12h ^ Mercredi 07/03 \\ 12h-14h ^ Vendredi 09/03 \\ 13h-14h ^
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**DS08 (4h)** \\
* Concours Blanc 2
* Exercice ENSAI
* Problème ENS
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**DR01 - ENS 2007 Pb** \\
* Partie 1 (Matrices nilpotentes)
**REVISIONS** \\
* Matrices d'applications linéaires
* Matrices semblables et équivalentes
* Matrices nilpotentes
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**DR01 - ENS 2007 Pb** \\
* Partie 2 (Noyaux itérés)
**REVISIONS** \\
* Images et noyaux
* gof=0 <=> Im(f) < Ker(g)
* Sous-espaces supplémentaires
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**DR01 - ENS 2007 Pb** \\
* Partie 3 (Dérivées n-ièmes de polynômes)
**REVISIONS** \\
* Dérivée k-ième de X^n
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**DR01 - ENS 2007 Pb** \\
* Partie 4 (Noyaux itérés d'un endo.nilpotent)
**REVISIONS** \\
* Valeurs propres d'un endomorphisme
* Raisonnements par contraposée
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===== Semaine du 06/02/12 =====
^ Lundi 06/02 \\ 14h-18h ^ Mardi 07/02 \\ 10h-12h ^ Mercredi 08/02 \\ 12h-14h ^ Vendredi 10/02 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 13 - Convergences et approximation** \\
* Approximations avec la loi N(0,1)
* Correction de continuité ou non
* Approximation binomiale/Poisson
**Exercices Chap. 13 - Convergences et approximation** \\ \\
Exercices 13.5, 13.6, 13.10 \\
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**CHAPITRE 14 - Estimation statistique** \\
I - Estimateurs
* Vocabulaire : échantillon, estimateur
* Biais d'un estimateur
* Risque quadratique d'un estimateur
* Estimateur d'une espérance par la moyenne empirique
**Exercices Chap. 14 - Estimation statistique** \\ \\
Exercices 14.1, 14.2 \\
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**Exercices Chap. 14 - Estimation statistique** \\ \\
Exercice 14.2 \\
**CHAPITRE 14 - Estimation statistique** \\
II - Intervalles de confiance
* Utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
* IC pour l'espérance d'une loi de Bernoulli
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**CHAPITRE 14 - Estimation statistique** \\
II - Intervalles de confiance
* Utilisation du Théorème de la Limite Centrée
* Exemples
**Exercices Chap. 14 - Estimation statistique** \\ \\
Exercice 14.3 \\
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===== Semaine du 30/01/12 =====
^ Lundi 30/01 \\ 14h-16h ^ Mardi 31/01 \\ 08h-10h ^ Mercredi 01/02 \\ 12h-14h ^ Vendredi 03/02 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 13 - Convergences et approximation** \\
I - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
* Enoncé de l'inégalité
* Preuve : cas discret/cas continu
* Exemple
II - Convergence en probabilité
* Loi faible des grands nombres
* Convergence en probabilité
**Exercices Chap. 13 - Convergences et approximation** \\ \\
Exercices 13.1, 13.2, 13.3 \\
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**DS07 (2h)** \\
* Variables aléatoires à densité
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**CHAPITRE 13 - Convergences et approximation** \\
III - Convergence en loi
* Définition de la convergence en loi
* Exemple : cas discret -> cas continu
**Exercices Chap. 13 - Convergences et approximation** \\ \\
Exercice 13.4 \\
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**CHAPITRE 13 - Convergences et approximation** \\
IV - Théorème de la Limite Centrée
* Enoncé du théorème
* Approximation binomiale/normale
* Approximation Poisson/normale
* Exemples
**Exercices Chap. 13 - Convergences et approximation** \\ \\
Exercice 13.8 \\
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===== Semaine du 23/01/12 =====
^ Lundi 23/01 \\ 14h-18h ^ Mardi 24/01 \\ 10h-12h ^ Mercredi 25/01 \\ 12h-14h \\ 16h-17h ^ Vendredi 27/01 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
III - Moments d'une variable à densité
* Espérance d'une VA à densité
* Propriétés : linéarité
* Théorème de transfert
* Moments d'ordre supérieur
* Variance d'une VA à densité
* E(aX+b) et V(aX+b)
**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercices 12.9, 12.10 \\
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
IV - Lois usuelles
* Loi uniforme sur [a,b]
* Densité, fonction de répartition
* Espérance, variance
* Loi exponentielle de paramètre Lambda
* Densité, fonction de répartition
* Espérance, variance
**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercices 12.11, 12.14 \\
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**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercices 12.08, 12.15, 12.16 \\
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
* Loi normale centrée réduite
* Densité, espérance, variance
* Fonction de répartition : propriétés
* Loi normale quelconque
* Liens entre les lois normales
* Lecture de tables de la loi normale
**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercice 12.18 \\
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===== Semaine du 16/01/12 =====
^ Lundi 16/01 \\ 16h-18h ^ Mardi 17/01 \\ 10h-12h ^ Mercredi 18/01 \\ 12h-14h ^ Samedi 21/01 \\ 08h-12h ^
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
I - Densité de probabilité et Fonction de répartition
* Rappels sur les fonctions de répartition
* Variables aléatoires à densité
* Comment reconnaître une densité de probabilité
* Liens entre densité et fonction de répartition
**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercice 12.1 \\
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
* Comment reconnaître une fonction de répartition
* Comment savoir si une VAR est à densité
II - Fonction d'une variable aléatoire à densité
* Déterminer la loi de X^2
**Exercices Chap. 12 - Variables aléatoires à densité** \\ \\
Exercices 12.1, 12.2, 12.3, 12.4 \\
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**CHAPITRE 12 - Variables aléatoires à densité** \\
* Déterminer la loi de aX+b
* Déterminer la loi de X^2
* Déterminer la loi de e^X
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**DS06 (4h)** \\
* Exercice : Loi d'un couple et matrices
* Exercice : Min/Max de VAIID géométriques
* Problème : ENSAE 2002 (Intégrales/Séries)
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===== Semaine du 09/01/12 =====
^ Lundi 09/01 \\ 14h-18h ^ Mardi 10/01 \\ 10h-12h ^ Mercredi 11/01 \\ 12h-14h ^ Vendredi 13/01 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 11 - Approximation en analyse** \\
II - Formules de Taylor
* Formule de Taylor-Polynôme
* Formule de Taylor-Reste Intégral
* Exemple : série exponentielle
III - Développements limités
* Développement limité d'ordre n en 0, en x_0
* Partie régulière et reste, unicité de la P.R.
* Formule de Taylor-Young
* DL usuels
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**CHAPITRE 11 - Approximation en analyse** \\
* DL usuels
* Opérations sur les DL
* Somme, produit, composition
**Exercices Chap. 11 - Approximation en analyse** \\ \\
Exercice 11.5 \\
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**CHAPITRE 11 - Approximation en analyse** \\
* Quotient de DL
* Exemples
* Application des DL : tangente/position
**Exercices Chap. 11 - Approximation en analyse** \\ \\
Exercices 11.5, 11.7 \\
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**Exercices Chap. 11 - Approximation en analyse** \\ \\
Exercices 11.6, 11.7, 11.8, 11.9 \\
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===== Semaine du 03/01/12 =====
^ Mardi 03/01 \\ 10h-12h ^ Mercredi 04/01 \\ 12h-14h ^ Vendredi 06/01 \\ 13h-14h ^
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**Exercices Chap. 10 - Intégrales impropres** \\ \\
Correction Exo 1 DM12 \\
Exercices 10.6, 10.7 \\
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**CHAPITRE 11 - Approximation en analyse** \\
I - Approximation somme/intégrale
* Lien entre aire et intégrale
* Subdivision régulière d'un segment
* Sommes de Riemann pour f continue sur [a,b]
* Exemples
**Exercices Chap. 11 - Approximation en analyse** \\ \\
Exercice 11.4 \\
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**CHAPITRE 11 - Approximation en analyse** \\
* Comparaison série-intégrale
* Exemple : séries de Riemann
**Exercices Chap. 11 - Approximation en analyse** \\ \\
Exercice 11.1, 11.3 \\
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===== Semaine du 12/12/11 =====
^ Lundi 12/12 \\ 14h-18h ^ Mardi 13/12 \\ 8h-10h ^ Mercredi 14/12 \\ 12h-14h ^ Vendredi 16/12 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 9 - Révisions d'analyse.** \\
* Changement de variables
**Exercices Chap. 9 - Révisions d'analyse** \\ \\
Exercices 09.12, 09.13
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**CHAPITRE 9 - Révisions d'analyse.** \\
* Propriétés des intégrales
* Primitive et intégrale
* Linéarité, positivité,...
**Exercices Chap. 9 - Révisions d'analyse** \\ \\
Exercices 09.14, 09.15
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**CHAPITRE 10 - Intégrales impropres.** \\
I - Définition
* Intégrales impropres
* Intégrales faussement impropres
* Exemples
**Exercices Chap. 10 - Intégrales impropres** \\ \\
Exercice 10.1
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**CHAPITRE 10 - Intégrales impropres.** \\
* Intégrales de Riemann
II - Cas des fonctions positives
* Théorème de comparaison
* Théorème de négligeabilité
* Théorème d'équivalence
III - Absolue convergence
* Intégrales absolument convergentes
* ACV => CV
**Exercices Chap. 10 - Intégrales impropres** \\ \\
Exercice 10.2
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===== Semaine du 05/12/11 =====
^ Lundi 05/12 \\ 14h-18h ^ Mardi 06/12 \\ 8h-10h ^ Mercredi 07/12 \\ 12h-14h ^ Vendredi 09/12 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 9 - Révisions d'analyse.** \\
I - Limites et continuité
* Limites de fonctions
* Equivalents usuels
* Continuité, dérivabilité
* Théorème des valeurs intermédiaires
* Théorème de la bijection
**Exercices Chap. 9 - Révisions d'analyse** \\ \\
Exercices 09.1, 09.2, 09.3
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**DS05** \\
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**CHAPITRE 9 - Révisions d'analyse.** \\
II - Dérivation
* Fonctions dérivable, de classe C^n
* Tangente à une courbe, lien avec la dérivée
* Dérivée d'une fonction réciproque
**Exercices Chap. 9 - Révisions d'analyse** \\ \\
Exercices 09.4, 09.5, 09.7
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**CHAPITRE 9 - Révisions d'analyse.** \\
* Dérivée d'une fonction réciproque
III - Primitives et intégration
* Primitives usuelles
* Intégration par parties
**Exercices Chap. 9 - Révisions d'analyse** \\ \\
Exercices 09.7, 09.12
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===== Semaine du 28/11/11 =====
^ Lundi 28/11 \\ 14h-18h ^ Mardi 29/11 \\ 10h-12h ^ Mercredi 30/11 \\ 12h-14h ^ Vendredi 02/12 \\ 13h-14h ^
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**Exercices Chap. 8 - Couples de VARD** \\ \\
Exercices 08.1, 08.2, 08.3
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**CHAPITRE 8 - Couples de VARD.** \\
II - Indépendance de variables aléatoires
* 2 Variables aléatoires indépendantes
* n Variables aléatoires indépendantes
* Suite de variables aléatoires indépendantes
III - Fonction de deux variables aléatoires
* Somme de deux variables aléatoires indépendantes
* Stabilité loi binomiale, loi de Poisson
* Théorème de Transfert
* Espérance d'un produit de variables indépendantes
**Exercices Chap. 8 - Couples de VARD** \\ \\
Exercices 08.3, 08.4, 08.5, 08.7
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**CHAPITRE 8 - Couples de VARD.** \\
IV - Covariance de deux variables aléatoires
* Covariance de deux variables aléatoires
* Lien avec l'indépendance
* Propriétés de la covariance
* Variables non corrélées
* Coefficient de corrélation linéaire
* Variance d'une somme de variables aléatoires
**Exercices Chap. 8 - Couples de VARD** \\ \\
Exercices 08.5, 08.10
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**Exercices Chap. 8 - Couples de VARD** \\ \\
Exercices 08.6, 08.10, DM.
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===== Semaine du 21/11/11 =====
^ Lundi 21/11 \\ 14h-18h ^ Mardi 22/11 \\ 10h-12h ^ Mercredi 23/11 \\ 12h-14h ^ Vendredi 25/11 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 7 - Variables aléatoires discrètes.** \\
III - Lois usuelles
* Loi géométrique (rapidement)
* Loi de Bernoulli
* Loi binomiale
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**CHAPITRE 7 - Variables aléatoires discrètes.** \\
* Loi uniforme
* Loi géométrique
* Loi de Poisson
**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.7, 07.8
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**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.12, 07.13, 07.14
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**CHAPITRE 8 - Couples de VARD.** \\
I - Loi d'un couple
* Loi conjointe
* Lois marginales
* Lois conditionnelles
**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.10
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===== Semaine du 14/11/11 =====
^ Lundi 14/11 \\ 14h-18h ^ Mardi 15/11 \\ 10h-12h ^ Mercredi 16/11 \\ 12h-14h ^ Vendredi 18/11 \\ 13h-14h ^ Samedi 19/11 \\ 08h-10h ^
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**CHAPITRE 6 - Probabilités.** \\
IV - Indépendance
* Indépendance de deux événements
* Indépendance mutuelle, 2 à 2
* Propriétés
V - Théorème de la limite monotone
* Suites croissantes/décroissantes d'événements
* Théorème de la limite monotone
**Exercices Chap. 6 - Probabilités** \\ \\
Exercices 06.15, 06.16
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**CHAPITRE 7 - Variables aléatoires discrètes.** \\
I - Généralités sur les VARD
* Variables aléatoires discrètes
* Exemples, Ensemble des valeurs prises
* Loi de probabilité d'une VARD
* Système complet d'événements
* Fonction de répartition : définition
* Propriétés : lien avec la loi de la VA
* Fonction d'une variable aléatoire
**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.1 et 07.5
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**CHAPITRE 7 - Variables aléatoires discrètes.** \\
II - Moments d'une variable aléatoire
* Espérance : cas fini ou infini
* Exemples
* Théorème de transfert
* Espérance de aX+b
* Variable aléatoire centrée
**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.2
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**CHAPITRE 7 - Variables aléatoires discrètes.** \\
* Rappels sur la Formule de Transfert
* Moments d'ordre quelconque
* Si E(X^2) existe, alors E(X) existe, réciproque fausse
* Variance d'une variable aléatoire, écart-type
* Formule de Konig-Huygens
* Variance de aX+b
* Variable aléatoire centrée réduite
**Exercices Chap. 7 - VARD** \\ \\
Exercices 07.4
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**DS04** \\
* Probabilités
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===== Semaine du 03/11/11 =====
^ Samedi 05/11 \\ 8h-12h ^
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**CONCOURS BLANC 1 - DS3** \\
* Exercice 1 - Séries (Oral ESCP)
* Exercice 2 - Séries (Oral ESCP)
* Exercice 3 - Algèbre (Oral ESCP)
* Problème - ENS 1995
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===== Semaine du 17/10/11 =====
^ Lundi 17/10 \\ 14h-18h ^ Mardi 18/10 \\ 10h-12h ^ Mercredi 19/10 \\ 12h-14h ^ Vendredi 21/10 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 6 - Probabilités.** \\
* Notion de tribu, propriétés
* Espace probabilisable
* Probabilité sur un espace infini
* Propriétés des probabilités
* Evenements élémentaires
* Modèle d'équiprobabilité
**Exercices Chap. 6 - Probabilités** \\ \\
Exercices 06.1, 06.3, 06.4, 06.5
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**CHAPITRE 6 - Probabilités.** \\
* Modèle d'équiprobabilité
III - Probabilité conditionnelle
* Définition : c'est une probabilité
* Lien avec la probabilité d'une intersection
* Formule des probabilités composées
**Exercices Chap. 6 - Probabilités** \\ \\
Exercices 06.2, 06.6, 06.7, 06.9
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**Exercices Chap. 6 - Probabilités** \\ \\
Exercices 06.8, 06.10
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**CHAPITRE 6 - Probabilités.** \\
* Systèmes complets d'événements
* Formule des Probabilités Totales
* Formule de Bayes
**Exercices Chap. 6 - Probabilités** \\ \\
Exercices 06.11
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===== Semaine du 10/10/11 =====
^ Lundi 10/10 \\ 14h-18h ^ Mardi 11/10 \\ 08h-10h ^ Mercredi 12/10 \\ 12h-14h ^ Vendredi 14/10 \\ 13h-14h ^ Samedi 15/10 \\ 8h-12h ^
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**Exercices Chap. 4 - Séries** \\ \\
Exercices 04.3
**Fiche 4 - Séries** \\ \\
**Fiche 5 - Dénombrement** \\ \\
**CHAPITRE 5 - Dénombrement.** \\
I - Ensembles finis
* Cardinaux, propriétés
* Formule du crible
* Partition d'un ensemble
II - Dénombrements classiques
* p-listes avec répétition
* p-arrangements
* combinaisons
* Propriétés des coefficients binomiaux
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**Exercices Chap. 5 - Dénombrement** \\ \\
Exercices 05.2, 05.4
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**Exercices Chap. 5 - Dénombrement** \\ \\
Exercices 05.4, 05.6
**CHAPITRE 6 - Espaces probabilisés.** \\
I - Vocabulaire
* Expérience aléatoire, univers
* Evenements, événements élémentaires
* Incompatibilité, événements impossibles, certains
* Fréquence d'apparition d'un événement
* Notion intuitive de probabilité
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**Exercices Chap. 5 - Dénombrement** \\ \\
Exercices 05.1, 05.5
**CHAPITRE 6 - Espaces probabilisés.** \\
II - Espaces probabilisés
* Cas d'un univers fini : espace probabilisable
* Définition d'une probabilité sur un univers fini
* Cas d'un univers fini : espace probabilisé
* Notion de tribu
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**DS2** \\
Exercice : un endomorphisme de R_n[X] \\
Exercice : trace d'une matrice \\
Problème : suites et séries \\
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===== Semaine du 03/10/11 =====
^ Lundi 03/10 \\ 14h-18h ^ Mardi 04/10 \\ 10h-12h ^ Mercredi 05/10 \\ 12h-14h ^ Vendredi 07/10 \\ 12h-13h ^
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**Exercices Chap. 3 - Révisions Suites** \\ \\
Exercices 03.3, 03.4, 03.5, 03.7
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**CHAPITRE 4 - Séries.** \\
* Opérations sur les séries convergentes
* Lien entre suite et série
II - Séries à termes positifs
* Comportement des sommes partielles
* Théorème de comparaison
* Théorème de négligeabilité
* Théorème d'équivalence
* Critère de D'Alembert
III - Convergence absolue
* Séries absolument convergentes
* Absolue conv => convergence
* Contre-exemples réciproque
IV - Séries de référence
* Série géométrique
* Série géométrique dérivée
* Série géométrique dérivée seconde
* Séries exponentielles
* Séries de Riemann
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**Exercices Chap. 4 - Séries** \\ \\
Exercices 04.1, 04.5
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**Exercices Chap. 4 - Séries** \\ \\
Exercices 04.3, 04.6
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===== Semaine du 26/09/11 =====
^ Lundi 26/09 \\ 14h-18h ^ Mardi 27/09 \\ 08h-10h ^ Mercredi 28/09 \\ 12h-14h ^ Vendredi 30/09 \\ 13h-14h ^
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**Fiche 3 - Suites** \\ \\
**CHAPITRE 3 - Révisions suites.** \\
I - Suites
* Suites croissantes, majorées
* Suites convergentes, divergentes
* Suites adjacentes
* Montrer qu'une suite converge
* Equivalents usuels
II - Suites usuelles
* Suites arithmétiques
* Suites géométriques
* Suites arithmético-géométriques
* Suites récurrentes linéaires doubles
**Exercices Chap. 3 - Révisions Suites** \\ \\
Exercices 03.1, 03.4
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**DS1** \\
Exercice : projecteurs \\
Problème : réduction et commutant d'une matrice 3x3 \\
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**CHAPITRE 3 - Révisions suites.** \\
III - Suites récurrentes
* Suites u_{n+1} = f(u_n)
* Suites bien définies
* Points fixes et limites
* Cas où f est croissante
* Cas où f est décroissante
* Utilisation de l'IAF
**Exercices Chap. 3 - Révisions Suites** \\ \\
Exercice 03.6
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**CHAPITRE 4 - Séries.** \\
I - Généralités
* Suite, sommes partielles
* Séries convergentes, divergentes
* Somme d'une série convergente
* Principe : paradoxe de Zénon
* Exemple : série géométrique
* Condition nécessaire de convergence
* Réciproque fausse : série harmonique
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===== Semaine du 19/09/11 =====
^ Lundi 19/09 \\ 14h-18h ^ Mardi 20/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 21/09 \\ 12h-14h ^ Vendredi 23/09 \\ 13h-14h ^
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
* Toute famille de vecteurs propres est libre
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercice 02.3
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
* f a au plus n vp distinctes
* Cas où f a exactement n vp distinctes
* f inversible <=> 0 pas valeur propre
IV - Polynômes annulateurs
* Polynôme d'endomorphisme
* Polynôme de matrice
* Polynôme annulateur
* Liens vp/poly.annulateur
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercices 02.4, 02.5
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
V - Diagonalisation
* Matrice diagonalisable
* Endomorphisme diagonalisable
* CNS de diagonalisabilité
* Cas particuliers :
* n valeurs propres distinctes
* une unique valeur propre
* diagonalisation M=PDP^{-1}
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercices 02.3, 02.6
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**Fiche 2 - Réduction** \\ \\
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercice 02.9
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===== Semaine du 12/09/11 =====
^ Lundi 12/09 \\ 14h-18h ^ Mardi 13/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 14/09 \\ 12h-14h ^ Vendredi 16/09 \\ 13h-14h ^
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**Exercices Chap. 1 - Révisions d'algèbre linéaire** \\ \\
Exercices 01.4, 01.6, 01.7
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
I - Matrices des applications linéaires
* Vecteurs et matrices colonnes
* Matrice d'une application linéaire
* Opérations sur les matrices
* A inversible <=> f bijectif
II - Changements de bases
* Matrices de passages
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercice 02.1
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
* Changement de bases sur un vecteur
* Changement de bases pour une A.L.
* Changement de bases pour un endomorphisme
* Matrices équivalentes, semblables
* Puissances de matrices semblables
* Puissances des matrices diagonales
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercice 02.1
**DM02 pour le 19/09** \\
Exercice 1 ECRICOME 2008 \\
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**CHAPITRE 2 - Réduction.** \\
III - Valeurs propres, vecteurs propres
* Recherche d'une matrice diagonale
* Valeur propre, vecteur propre
* Exemples
* Sous-espace propre
* f(x)=kx <=> x dans Ker(f-kId)
* Recherche des valeurs propres
**Exercices Chap. 2 - Réduction** \\ \\
Exercices 02.2 et 02.3
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===== Semaine du 05/09/11 =====
^ Lundi 05/09 \\ 14h-18h ^ Mardi 06/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 07/09 \\ 13h-14h ^ Vendredi 09/09 \\ 10h-12h ^
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**Fiche 1 - Révisions d'algèbre linéaire** \\ \\
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**CHAPITRE 1 - Révisions d'algèbre linéaire.** \\
I - Espaces vectoriels
* Définition, exemples
* Combinaisons linéaires, Vect
* Sous-espaces vectoriels, exemples
* Familles libres et liées, exemples
II - Dimension des espaces vectoriels
* Bases d'un ev, dimension
* Bases canoniques
* Rappels sur les sommes directes
* Formule de Grassmann
III - Applications linéaires
* Définition
* Noyau, lien avec injectivité
**Exercices Chap. 1 - Révisions d'algèbre linéaire** \\ \\
Exercice 01.1
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**CHAPITRE 1 - Révisions d'algèbre linéaire.** \\
III - Applications linéaires
* Noyau, lien avec injectivité
* Démonstration de l'équivalence
**Exercices Chap. 1 - Révisions d'algèbre linéaire** \\ \\
Exercice 01.2
**DM01 pour le 12/09** \\
Exercice 1 ENSAI 2010 \\
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**CHAPITRE 1 - Révisions d'algèbre linéaire.** \\
IV - Opérations élémentaires sur le
* Opérations élémentaires
* Savoir si une matrice est inversible
* Calculer l'inverse d'une matrice
* Calculer l'image et le noyau
**Exercices Chap. 1 - Révisions d'algèbre linéaire** \\ \\
Exercice 01.4 et 01.5
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