======= Cahier de Textes Maths Hypokhâgne B/L Parc 2012/2013 ======
Vous trouverez ici le cahier de textes mis à jour régulièrement du cours de mathématiques.
===== Semaine du 10/06/13 =====
^ Lundi 10/06 \\ 8h-10h ^ Mardi 11/06 \\ 10h-12h ^ Vendredi 14/06 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^ Samedi 15/06 \\ 08h-12h ^
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**Exercices Chap. 19 - Intégrales impropres** \\ \\
Exercices 19.04, 19.05, 19.06 |
**CHAPITRE 20 - Séries numériques** \\
I - Vocubulaire relatif aux séries
* Paradoxe de Zénon : Achille et la tortue
* Somme partielle associée à une suite.
* Série convergente, série divergente
* Somme d'une série convergente
* Exemple : série géométrique, série télescopique
* Reste d'ordre n d'une série convergente
* Le reste d'une série convergente tend vers 0
* Si une série converge, son terme général tend vers 0
* Si le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge
* Si le terme général tend vers 0 ? Exemple de la série harmonique
II - Séries usuelles
* Séries géométriques
* Séries géométriques dérivées d'ordre 1 et 2
* Séries exponentielles
* Série harmonique
* Séries de Riemann
III - Critères de convergence pour les séries à termes positifs
* Si (un) est positive, la série converge <=> (Sn) est majorée
* Critère de comparaison pour les séries de termes positifs
* Critère de négligeabilité pour les séries de termes positifs
* Critère d'équivalence pour les séries de termes positifs
IV - Séries à termes changeant de signe
* Définition d'une série absolument convergente
* Si une série converge absolument, alors elle converge
* Si une série n'est pas absolument convergente, on étudie (S_{2n}) et (S_{2n+1})
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===== Semaine du 03/06/13 =====
^ Lundi 03/06 \\ 8h-10h ^ Mardi 04/06 \\ 08h-10h ^ Vendredi 07/05 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 19 - Intégrales impropres** \\
I - Convergence d'intégrales impropres
* Cas d'une fonction f continue sur [a,b[ ou ]a,b]
* Exemples, intégrales faussement impropres
* Cas d'une fonction f continue sur [a,+infini[ ou ]-infty,a]
* Exemples, condition nécessaire sur la limite de f
* Cas d'une fonction f continue sur ]a,b[ : relation de Chasles
* Exemples
* Intégration par parties ou changement de variable : tout sur un segment
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**CHAPITRE 19 - Intégrales impropres** \\
* Linéarité des intégrales convergentes
* Exemples et contre-exemples
* Positivité des intégrales convergentes
* Fonction continue positive d'intégrale nulle
II - Intégrales de référence
* Exponentielles négatives
* Intégrales de Riemann sur [1,+infty[
* Intégrales de Riemann sur ]0,1]
III - Critères de convergence pour les fonctions positives
* La fonction g : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt est croissante
* L'intégrale converge sur [a,b[ ssi g est majorée
* Critère de comparaison pour les fonctions positives
* Critère de négligeabilité pour les fonctions positives
* Critère d'équivalence pour les fonctions positives
IV - Absolue convergence
* Définition d'une intégrale absolument convergente
* L'absolue convergence implique la convergence
* En cas de convergence, inégalité triangulaire
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**Exercices Chap. 19 - Intégrales impropres** \\ \\
Exercices 19.01, 19.02, 19.03 |
===== Semaines du 20/05/13 et du 27/05/13 =====
^ Mardi 21/05 \\ 10h-12h ^ Mardi 22/05 17h-18h \\ Vendredi 24/05 10h-11h ^ Lundi 27/05 \\ 08h-12h ^
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**CHAPITRE 18 - Réduction des endomorphismes** \\
* Méthode pour trouver des valeurs propres
* Exemples
* Une famille de vecteurs propres ass. à des vp différentes est libre
* Les sous-espaces propres sont en somme directe
* Conséquence sur les dimensions
III - Diagonalisabilité
* Endomorphisme diagonalisable
* Matrice diagonalisable
* Caractérisation à l'aide des dimensions
* Cas particulier où on a n valeurs propres distinctes
* Cas particuliers où on a une unique valeur propre
**Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes** \\ \\
Exercices 18.03, 18.06 |
**Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes** \\ \\
Exercices dictés |
**DS09 - Concours Blanc - 4h** \\
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===== Semaine du 13/05/13 =====
^ Lundi 13/05 \\ 8h-10h ^ Jeudi 16/05 8h-10h ^ Mercredi 15/05 13h-14h \\ Vendredi 17/05 10h-11h ^
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**Exercices Chap. 17 - Matrices d'AL** \\ \\
Exercice 17.07, 17.08, 17.09, 17.10 |
**CHAPITRE 18 - Réduction des endomorphismes** \\
I - Changements de bases
* Matrices de passage d'une base à une autre
* Exemples : propriétés d'inversibilité
* P inversible <=> P est une matrice de passage
* Changement de base pour un vecteur
* Changement de base pour une application linéaire
* Changement de base pour un endomorphisme
* Définition des matrices équivalentes, lien avec le rang
* Définition des matrices semblables.
* Matrice diagonalisable : avantage pour le calcul de puissances
II - Valeurs propres et vecteurs propres
* Valeur propre pour un endomorphisme
* Vecteur propre pour un endomorphisme
* Sous-espace propre associé
* Méthode pour trouver les valeurs propres : (f-L IdE) non bijective
* Valeur propre pour une matrice
* Vecteur propre pour une matrice
* Sous-espace propre associé
* Méthode pour trouver les valeurs propres : (A- L In) non inversible
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**Exercices Chap. 18 - Réduction des endomorphismes** \\ \\
Exercices dictés |
===== Semaine du 06/05/13 =====
^ Lundi 06/05 \\ 8h-10h ^ Mardi 07/05 \\ 10h-12h ^ Mardi 07/05 17h-18h \\ Vendredi 10/05 10h-11h ^
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**CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires** \\
I - Matrices représentant des vecteurs
* Rappels : familles libres, génératrices, bases
* Coordonnées/composantes d'un vecteur dans une base
* Matrice colonne représentant un vecteur
* Exemples dans les bases canoniques
II - Matrices d'applications linéaires
* Caractérisation d'une AL par l'image d'une base
* Définition de la matrice dans des bases données
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**CHAPITRE 17 - Matrices d'applications linéaires** \\
* AL canoniquement associée à une matrice
* Matrices d'images de vecteurs
* Matrice d'une composée d'AL
III - Image, noyau, rang d'une matrice
* Définition du noyau, de l'image
* Rang d'une matrice, d'une AL, d'une famille de vecteurs
* Calcul du rang en pratique
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**Exercices Chap. 17 - Matrices d'AL** \\ \\
Exercice 17.01, 17.03, 17.06 |
===== Semaine du 15/04/13 =====
^ Lundi 15/04 \\ 8h-12h ^ Mardi 16/04 \\ 10h-12h ^ Mercredi 17/04 \\ 08h-10h ^ Vendredi 19/04 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**DS08 - 4h** \\
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**CHAPITRE 16 - Développements limités** \\
* Opérations sur les DL
* Sommes, produits, quotients
* Composées de DL
* Interprétation d'un DL : étude du comportement local
* Ecriture de la tangente, position par rapport à cette tangente
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**Exercices Chap. 16 - Développements limités** \\ \\
Exercice 16.01, 16.03 |
**Exercices Chap. 16 - Développements limités** \\ \\
Exercice 16.01, 16.06, 16.08 |
===== Semaine du 08/04/13 =====
^ Lundi 08/04 \\ 8h-10h ^ Mardi 09/04 \\ 10h-12h ^ Jeudi 11/04 \\ 16h-17h30 \\ 18h-19h ^
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**Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment** \\ \\
Exercices 15.11, 15.14, 15.17, 15.20, 15.25 |
**CHAPITRE 16 - Développements limités** \\
I - Fonction négligeable devant une autre
* Définition, caractérisation par limite du quotient
* Exemples : puissances au voisinage de l'infini, puissances au voisinage de 0
* Exemples : croissances comparées en l'infini, croissances comparées en 0
* Propriétés : addition, produit, multiplication par scalaire
* Lien entre négligeabilité et équivalence
II - Développements limités
* DL d'ordre n d'une fonction au voisinage de 0, au voisinage de x0
* Partie régulière du DL, reste du DL
* Exemples : fonction exponentielle, fonction x \mapsto \frac{1}{1-x}
* f admet un DL d'ordre 0 <=> f admet une limite
* f admet un DL d'ordre 1 <=> f est dérivable
* Formule de Taylor-Young : condition pour admettre un DL d'ordre n et formule avec dérivées
* Lorsqu'on a un DL, l'équivalent est le premier terme du DL
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**CHAPITRE 16 - Développements limités** \\
* DL de 1/(1-x), 1/(1+x)
* Primitivation d'un DL : DL de ln(1+x), ln(1-x)
* Utilisation de Taylor-Young : DL de exp(x), de (1+x)^\alpha
* Utilisation des formules d'Euler : DL de cos(x), sin(x)
**Exercices Chap. 16 - Développements limités** \\ \\
Exercice 16.01 |
===== Semaine du 02/04/13 =====
^ Mardi 02/04 \\ 10h-12h ^ Mercredi 03/04 \\ 08h-10h ^ Vendredi 05/03 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment** \\
* Exemples de changements de variables
* Cas particuliers simples ( u=-t, c.v. affine)
* Cas des fonctions paires, impaires, périodiques
* Positivité de l'intégrale
* Comparaison de deux fonctions et de leurs intégrales
* Inégalité de la moyenne
* Intégrale et valeurs absolues
* Généralisation aux fonctions continues par morceaux
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**CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment** \\
* Intégrales de fonctions continues par morceaux
* Extension des propriétés précédentes
* Fonction continue positive d'intégrale nulle
III - Sommes de Riemann
* Lien entre aire et intégrale
* Subdivision régulière d'un segment [a,b]
* Sommes de Riemann (à droite et à gauche)
* Théorème de convergence
* Exemples
**Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment** \\ \\
Exercices 15.18, 15.27
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**Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment** \\ \\
Exercices 15.18, 15.19
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===== Semaine du 25/03/13 =====
^ Lundi 25/03 \\ 8h-10h ^ Mardi 26/03 \\ 10h-12h ^ Vendredi 29/03 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**DS07 - 2h** \\
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**CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment** \\
* Fonction intégrale dont la variable est dans la borne du haut
* C'est la primitive de f qui s'annule en un point
* Fonction intégrales dont les deux bornes varient
* Exemples
* Linéarité de l'intégrale sur le segment
* Relation de Chasles
* Formule d'intégration par parties : exemples
* Formule de changement de variable : exemples
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**Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment** \\ \\
Exercice 15.02, 15.04, 15.06, 15.07, 15.09, 15.13
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===== Semaine du 18/03/13 =====
^ Lundi 18/03 \\ 8h-10h ^ Mardi 19/03 \\ 10h-12h ^ Vendredi 22/03 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**Exercices Chap. 14 - Convergence de suites** \\ \\
Exercice 14.14, 14.15, 14.17, 14.18
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**Exercices Chap. 14 - Convergence de suites** \\ \\
Exercice 14.14, 14.19
**CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment** \\
I - Primitives
* Définition : primitive d'une fonction
* Exemples. Les primitives diffèrent d'une constante
* Unicité de la primitive vérifiant une relation f(x)=y
* Théorème fondamental de l'analyse
* Exemple : primitive de x \mapsto 1/x sur R^*
* Tableau des primitives usuelles
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**CHAPITRE 15 - Intégration sur un segment** \\
* Tableau des primitives usuelles
* Tableau des primitives de composées
II - Intégration sur un segment
* Définition pour une fonction continue sur [a,b]
* L'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie
* Quelques exemples
**Exercices Chap. 15 - Intégration sur un segment** \\ \\
Exercice 15.01
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===== Semaine du 11/03/13 =====
^ Mardi 12/03 \\ 10h-12h ^ Mercredi 13/03 \\ 16h-18h ^ Vendredi 15/03 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 14 - Convergence de suites** \\
* Théorème de la limite monotone
* Suites croissantes majorées, suites décroissantes minorées
* Suites adjacentes : définition et théorème
* Approximation d'un réel par une suite de rationnels
III - Comparaison de suites
* Suites équivalentes : définition, caractérisation
* Exemples
* Suites négligeables : définition, caractérisation
* Exemples et propriétés
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**CHAPITRE 14 - Convergence de suites** \\
* Croissances comparées des suites usuelles
* Propriétés des "petit o"
* Suites dominées devant une autre : définition
* Exemple classique : \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \longrightarrow e^x
IV - Suites récurrentes du type u_{n+1} = f(u_n)
* Définition d'une suite récurrente
* Problème : la suite est-elle "bien définie" ?
* Intervalles stables par une fonction
* Lien entre les points fixes et la limite éventuelle
* Représentation graphique d'une suite récurrente
* Si f est croissante, alors la suite est monotone
* Si f est décroissante, étude des suites extraites
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**Exercices Chap. 14 - Convergence de suites** \\ \\
Exercice 14.07, 14.08, 14.09, 14.12
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===== Semaine du 18/02/13 =====
^ Mardi 19/02 \\ 10h-12h ^ Mercredi 20/02 \\ 08h-10h ^ Vendredi 22/02 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^ Samedi 23/02 \\ 08h-12h ^
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**Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle** \\ \\
Exercice 13.12, 13.13
**CHAPITRE 14 - Convergence de suites** \\
I - Suites usuelles
* Rappels : suite croissante/décroissante
* Rappels : suite majorée/minorée/bornée
* Rappels : suites arithmétiques, géométriques
* Rappels : suites arithmético-géométrique, méthode
* Suites récurrentes linéaires doubles
* Equation caractéristique associée
* Expression explicite en fonction du signe de \Delta
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**CHAPITRE 14 - Convergence de suites** \\
* Exemples de suites récurrentes linéaires doubles
II - Convergence de suites
* Suite convergeant vers un réel : définition avec les epsilon
* Suite divergeant vers \infty ou - \infty
* Suite divergente
* Opérations sur les limites : somme, produit, inverse, FI
* Composition de limites par une fonction
* Limites et inégalités
* Théorèmes d'encadrement, théorèmes de comparaison
* Limites et valeurs absolues
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**CHAPITRE 14 - Convergence de suites** \\
* Suites extraites : définition
* Suites extraites d'indices pairs/impairs
* Lien entre les convergences de (u_n) et des suites extraites
**Exercices Chap. 14 - Convergence de suites** \\ \\
Exercice 14.01, 14.02, 14.03, 14.04, 14.05
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**DS06 - 4h** \\
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===== Semaine du 11/02/13 =====
^ Lundi 11/02 \\ 08h-10h ^ Mardi 12/02 \\ 10h-12h ^ Vendredi 14/02 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle** \\
I - Fonctions de classe \mathcal{C}^n
* Rappels : fonction dérivable en un point
* Fonction dérivable sur I, fonction de classe \mathcal{C}^1
* Fonction de classe \mathcal{C}^n , fonction de classe \mathcal{C}^\infty
* Exemples : dérivée n-ième d'un polynôme, de exp, ln, cos, sin
* Somme, produit de fonctions de classe \mathcal{C}^n , formule de Leibniz
* Composition de fonctions de classe \mathcal{C}^n , réciproque d'une fonction \mathcal{C}^n bijective
* Théorème de prolongement, théorème Limite de la Dérivée
**Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle** \\ \\
Exercice 13.01
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**CHAPITRE 13 - Dérivation sur un intervalle** \\
II - Théorème de dérivation
* Condition nécessaire d'extremum local
* Théorème de Rolle
* Théorème des Accroissements Finis
* Inégalités des Accroissements Finis (plusieurs formes)
* Conséquence : variations d'une fonction et signe de la dérivée
III - Convexité
* Définition/caractérisation avec les tangentes
* Lien avec la dérivée et la dérivée seconde
* La fonction ln est concave : inégalité \ln(x) \leq x-1
* La fonction exp est convexe : inégalité \exp(x) \geq x+1
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**Exercices Chap. 13 - Dérivation sur un intervalle** \\ \\
Exercices 13.03, 13.04, 13.07, 13.09, 13.10
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===== Semaine du 04/02/13 =====
^ Lundi 04/02 \\ 08h-10h ^ Mardi 05/02 \\ 10h-12h ^ Mercredi 06/02 \\ 16h-17h30 ^
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**CHAPITRE 12 - Applications linéaires** \\
* Théorème du rang
* Si dim(E)=dim(F), alors f injective <=> f surjective
* Implications inj/surj/bij sur dim(E) et dim(F)
* Image d'une famille libre par une appl.linéaire
* f isomorphisme <=> l'image d'une base est une base
**Exercices Chap. 12 - Applications linéaires** \\ \\
Exercice 12.02
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**Exercices Chap. 12 - Applications linéaires** \\ \\
Exercice 12.03, 12.04, 12.05
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**Exercices Chap. 12 - Applications linéaires** \\ \\
Exercice 12.06, 12.07, 12.08
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===== Semaine du 28/01/13 =====
^ Lundi 28/01 \\ 08h-10h ^ Mardi 29/01 \\ 10h-12h ^ Vendredi 01/02 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**DS5 - Interro de cours** \\ \\
**Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels** \\ \\
Exercices 11.14, 11.15, 11.16
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**Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels** \\ \\
Exercices 11.17
**CHAPITRE 12 - Applications linéaires** \\
I - Généralités
* Application linéaire de E dans F
* Premières propriétés, exemples
* Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes
* Ensembles L(E,F), L(E), GL(E)
* Noyau d'une application linéaire
* Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E
* Ker(f)={0} <=> f injective
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**CHAPITRE 12 - Applications linéaires** \\
* Image d'une application linéaire
* Im(f) est un sous-espace vectoriel de F
* Im(f)=F <=> f surjective
* Si E=Vect(e1,...,en), alors Im(f)=Vect(f(e1),...,f(en))
II - Applications linéaires en dimension finie
* Rang d'une application linéaire
* Théorème du rang
**Exercices Chap. 12 - Applications linéaires** \\ \\
Exercices 12.01
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===== Semaine du 21/01/13 =====
^ Lundi 21/01 \\ 08h-10h ^ Mardi 22/01 \\ 10h-12h ^ Vendredi 25/01 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels** \\
* Exemples de familles libres et liées
* Familles de 1 vecteur, de 2 vecteurs
* Familles de polynômes non nuls de degrés étagés
* Une famille est liée ssi un vecteur est CL des autres
* Dans une famille libre, l'écriture en CL est unique
II - Bases et dimension
* Définition d'une base d'un espace vectoriel
* Définition de la dimension d'un espace vectoriel
* Définition d'un espace vectoriel de dimension finie
* Premiers exemples : base canonique de Rn[X]
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* Base canonique de Rn
* Base canonique de M_np(R)
* Une famille libre a un cardinal inférieur à dim(E)
* Une famille génératrice a un cardinal supérieur à dim(E)
* Pour Card(B)=dim(E), B libre <=> B génératrice
* Comment obtenir une base à partir d'une famille génératrice
* Théorème de la base incomplète (à partir d'une famille libre)
* SEV d'un EV de dimension finie : relations de dimensions
* Si F inclus dans G, alors dim(F) < dim(G)
* Si F inclus dans G et égalité des dimensions, alors F=G
* Intersection de sous-espaces vectoriels : c'est un sev.
III - Somme de sous-espaces vectoriels
* Définition de F+G. Exemples lorsqu'on connaît des Vect
* Vect(B)+Vect(C)=Vect(BuC)
* Formule de Grassmann
* Définition d'une somme directe
* Définition de sous-espaces supplémentaires
* Différentes caractérisations de "F et G suppl. dans E"
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**Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels** \\ \\
Exercices 11.9, 11.10, 11.12, 11.13
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===== Semaine du 14/01/13 =====
^ Lundi 14/01 \\ 08h-10h ^ Mardi 15/01 \\ 10h-12h ^ Vendredi 18/01 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**Exercices Chap. 10 - Matrices** \\ \\
Exercices 10.9, 10.12, 10.15, 10.16, 10.17
**CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels** \\
I - Définitions
* Structure de K-espace vectoriel
* Exemples usuels
* Familles de vecteurs
* Combinaison linéaire de vecteurs
* Notation Vect
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**CHAPITRE 11 - Espaces vectoriels** \\
* Sous-espace vectoriel : définition
* Exemples de sous-espaces vectoriels
* Un sev est encore un K-ev
* Un Vect est toujours un sev
* Notion de famille génératrice
* Propriétés des familles génératrices
* Famille liée de vecteurs
* Famille libre de vecteurs
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**Exercices Chap. 11 - Espaces vectoriels** \\ \\
Exercices 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.6
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===== Semaine du 07/01/13 =====
^ Lundi 07/01 \\ 08h-10h ^ Mardi 08/01 \\ 10h-12h ^ Vendredi 11/01 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**CHAPITRE 10 - Matrices** \\
I - Ensemble des matrices
* Définitions et notations
* Matrices colonnes, lignes, diagonales
* Matrices triangulaires supérieures/inférieures
* Matrices nulles, matrice identité d'ordre n
* Addition de deux matrices, propriétés
* Multiplication par un scalaire, propriétés
* Combinaison linéaire de deux matrices
* Produit matriciel : définition, exemples
* Propriétés du produit de matrices
* Puissances d'une matrice carrée
* Matrices nilpotentes
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**CHAPITRE 10 - Matrices** \\
* Propriétés des puissances de matrices
* Matrices commutantes
* Formule du binôme de Newton, exemples
* Transposée d'une matrice, propriétés
* Ecriture matricielle d'un système linéaire
II - Matrices carrées inversibles
* Définition, exemples
* Propriétés des matrices inversibles
* Matrice inversible et système de Cramer
* Calcul de A^{-1} en résolvant Y=AX
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**CHAPITRE 10 - Matrices** \\
* Inversibilité des matrices triangulaires
* Opérations élémentaires sur les matrices
* Définition de matrices équivalentes
* Matrices équivalentes et inversibilité
* Pivot de Gauss pour voir si A est inversible
* Algorithme de Gauss-Jordan pour calculer A^{-1}
**Exercices Chap. 10 - Matrices** \\ \\
Exercices 10.2, 10.3, 10.4, 10.6, 10.10
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===== Semaine du 10/12/12 =====
^ Lundi 10/12 \\ 08h-10h ^ Jeudi 13/12 \\ 10h-12h ^ Vendredi 14/12 \\ 08h-12h ^
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**Exercices Chap. 8 - Dérivation et fonctions trigo** \\ \\
Exercices 8.05, 8.06, 8.07, 8.08, 8.10
**CHAPITRE 9 - Systèmes linéaires** \\
I - Vocabulaire
* Equations linéaires, systèmes linéaires
* Système incompatible, système de Cramer
* Ecriture de l'ensemble des solutions
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**CHAPITRE 9 - Systèmes linéaires** \\
I - Vocabulaire
* Systèmes à paramètres : paramètres, inconnues
II - Pivot de Gauss
* Systèmes équivalents
* Opérations élémentaires
* Méthode du pivot
* Exemples
**Exercices Chap. 9 - Systèmes linéaires** \\ \\
Exercices 9.01, 9.02, 9.03
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**DS4 CB1(4h)** \\ \\
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===== Semaine du 03/12/12 =====
^ Lundi 03/12 \\ 08h-10h ^ Mardi 04/12 \\ 10h-12h ^ Vendredi 07/12 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
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**Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections** \\ \\
Exercice 7.02
**CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo** \\
I - Dérivabilité en un point
* Rappels : nombre dérivé, tangente
* Somme, produit, quotient
* Dérivée d'une composée
* Dérivée de la réciproque
* Dérivabilité en 0 et équivalent
|
**CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo** \\
II - Fonctions circulaires
* Fonction sinus : définition, dérivée, équivalent, graphe
* Fonction cosinus : définition, dérivée, équivalent, graphe
* Fonction tangente : définition, dérivée, équivalent, graphe
III - Fonctions circulaires réciproques
* Fonction Arcsin : définition, propriétés, dérivée, graphe
* Fonction Arccos : définition, propriétés, dérivée, graphe
|
**CHAPITRE 8 - Dérivation et fonctions trigo** \\
* Fonction Arctan : définition, propriétés, dérivée, graphe
**Exercices Chap. 8 - Dérivation et fonctions trigo** \\ \\
Exercices 8.02, 8.03, 8.04
|
===== Semaine du 26/11/12 =====
^ Lundi 26/11 \\ 08h-10h ^ Mardi 27/11 \\ 10h-12h ^ Vendredi 30/11 \\ 13h30-17h30 ^ Samedi 01/12 \\ 10h00-11h30 ^
|
**Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents** \\ \\
Exercice 6.05, 6.06, 6.07
**CHAPITRE 7 - Bijections et continuité** \\
I - Images et antécédants
* Rappels : images et antécédants
* Rappels : image directe, image réciproque
* Applications injectives : définition, exemples
* Cas des fonctions strictement monotones
* Applications surjectives : définition, exemples
* Applications bijectives : définition.
* Une application bijective est inversible
* Si f est injective, alors f réalise une bijection de E dans f(E)
|
**Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents** \\ \\
Exercice 6.05, 6.06, 6.07
**CHAPITRE 7 - Bijections et continuité** \\
II - Continuité
* Rappels : continuité en un point
* Continuité sur un intervalle
* Stabilité par somme,produit,inverse,composée
* Image d'un intervalle par une fonction continue
* Théorème des Valeurs Intermédiaires
* Expression de f(I) lorsque f est monotone
* Fonction continue sur un segment
* Théorème de la bijection monotone
* Application aux équations du type f(x)=0
**Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections** \\ \\
Exercice 7.09
|
**DS3 (4h)** \\ \\
|
**Exercices Chap. 7 - Continuité et bijections** \\ \\
Exercices 7.01, 7.02, 7.07, 7.08, 7.12
|
===== Semaine du 19/11/12 =====
^ Lundi 19/11 \\ 08h-10h ^ Mardi 20/11 \\ 10h-12h ^ Vendredi 23/11 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**CHAPITRE 6 - Limites** \\
II - Opérations sur les limites
* Somme, produit, inverse, quotient
* Formes indéterminées
* Unicité de la limite
* Propriétés entre limite et ordre
* Théorèmes de comparaison
* Théorème d'encadrement (des gendarmes)
* Produit fonction bornée / fonction tendant vers 0
|
**CHAPITRE 6 - Limites et équivalents** \\
* Théorème de la limite monotone
* Cas où f croissante/majorée, etc...
* Lien entre limite et borne sup/inf
III - Equivalents
* Définition de f(x) équivalent à g(x)
* Caractérisation avec la limite du quotient
* Premiers exemples
* Polynômes au vois. de l'infini
* Fonctions rationnelles au vois. de l'infini
* Cas des fonctions dérivables
* exp(x) au voisinage de 0
* ln(x) au voisinage de 1
* ln(1+x) au voisinage de 0
* (1+x)^\alpha-1 au voisinage de 0
* Propriétés des équivalents (produit, inverse, puissance...)
* On ne somme pas les équivalents, on ne compose pas
* Cas particulier : composition par le logarithme
|
**CHAPITRE 6 - Limites et équivalents** \\
IV - Branches infinies
* Asymptotes horizontales
* Asymptotes verticales
* Asymptotes obliques
* Cas général : branches paraboliques de directions asymptotiques (Ox), (Oy), (y=ax)
**Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents** \\ \\
Exercice 6.03, 6.04, 6.05
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===== Semaine du 12/11/12 =====
^ Mardi 13/11 \\ 10h-12h ^ Mercredi 14/11 \\ 08h-10h ^ Vendredi 16/11 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**CHAPITRE 5 - Fonctions** \\
III - Vocabulaire des fonctions
* Ensemble de définition
* Parité, imparité
* Axes et centres de symétrie
* Périodicité
* Majorants, minorants
* Maximums, minimums
* Borne sup, borne inf
**Exercices Chap. 5 - Fonctions** \\ \\
Exercices 5.05, 5.06, 5.07
|
**Exercices Chap. 5 - Fonctions** \\ \\
Exercices 5.04, 5.12
**CHAPITRE 6 - Limites et équivalents** \\
I - Limites d'une fonction
* Voisinage d'un réel
* Voisinage de l'infini
* Limite finie en un réel
* Ecriture avec les epsilon
* Continuité en un point
* Fonction prolongeable par continuité
* Limite infinie en un réel
* Limite finie/infinie en l'infini
|
**Exercices Chap. 5 - Fonctions** \\ \\
Exercice 5.01
**Exercices Chap. 6 - Limites et équivalents** \\ \\
Exercice 6.03
|
===== Semaine du 22/10/12 =====
^ Lundi 22/10 \\ 08h-10h ^ Mardi 23/10 \\ 10h-12h ^ Vendredi 26/10 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^ Samedi 27/10 \\ 08h-12h ^
|
**Exercices Chap. 4 - Polynômes** \\ \\
Exercices 4.4, 4.5, 4.7
**CHAPITRE 5 - Fonctions** \\
I - Applications
* Définitions, images, antécédants
* Ensembles de départ, ensembles d'arrivée
* Images directes, images réciproques
|
**Exercices Chap. 4 - Polynômes** \\ \\
Exercices 4.13
**CHAPITRE 5 - Fonctions** \\
* Images directes, images réciproques
* Composition d'applications
* Applications inversibles
II - Fonctions usuelles
* Fonction valeur absolue
* Fonction partie entière
* Fonction racine carrée
* Fonction inverse
|
**CHAPITRE 5 - Fonctions** \\
* Fonction logarithme népérien
* Fonction exponentielle
* Fonctions puissances
**Exercices Chap. 5 - Fonctions** \\ \\
Exercice 5.01
|
**DS2 (4h)** \\ \\
|
===== Semaine du 15/10/12 =====
^ Lundi 15/10 \\ 08h-10h ^ Mardi 16/10 \\ 10h-12h ^ Mercredi 17/10 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 19/10 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 3.9, 3.11, 3.12
**CHAPITRE 4 - Polynômes** \\
* Définition : polynôme, degré
* Exemples, polynôme nul
* Ensembles K[X], R[X], C[X]
* Somme de deux polynômes
* Multiplication par un scalaire
|
**CHAPITRE 4 - Polynômes** \\
* Produit de polynômes
* Substitution de X dans un polynôme
* Polynôme dérivé, polynôme dérivé k-ième
II - Division dans K[X]
* Divisibilité de A par B
* Division euclidienne de deux polynômes
* Preuve de l'unicité de la D.E.
* Racines d'un polynôme
* Factorisation de P par X-a
|
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 3.10, 3.13
|
**CHAPITRE 4 - Polynômes** \\
* Factorisation de P par X-a
* Racines multiples d'un polynôme
* Lien avec les dérivées successives
* Factorisation dans C[X] et R[X]
* Théorème de D'Alembert-Gauss
* Racines complexes des polynômes de R[X]
|
===== Semaine du 08/10/12 =====
^ Lundi 08/10 \\ 08h-10h ^ Mardi 09/10 \\ 10h-12h ^ Mercredi 10/10 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 12/10 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**CHAPITRE 3 - Nombres complexes** \\
* Racines carrées d'un complexe
* Recherche d'une solution sous forme algébrique
* Résolution d'une équation du second degré
* Factorisation d'un trinôme du second degré
* Relations coefficients racines
* Racines n-ièmes de l'unité : définition
* Expression explicite des racines n-ièmes de l'unité
* Exemples : définition du nombre j
|
**CHAPITRE 3 - Nombres complexes** \\
* Somme des racines n-ièmes de l'unité
* Racines n-ièmes d'un complexe non nul
* Résolution de l'équation z^n = Z
III - Trigonométrie
* Fonctions cos, sin, tan
* Propriétés de parité, de périodicité
* Propriétés de symétrie
* Equation cos(a)=cos(b)
* Equation sin(a)=sin(b)
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 3.10, 3.13
|
**SOUTIEN L/ES** \\
**Introduction aux nombres complexes** \\
* Résolution d'équations du second degré
* Recherche de racines carrées d'un complexe
* Recherche des racines n-ièmes d'un complexe
|
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 3.6, 3.8
|
===== Semaine du 01/10/12 =====
^ Lundi 01/10 \\ 08h-10h ^ Mardi 02/10 \\ 10h-12h ^ Mercredi 03/10 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 05/10 \\ 10h-11h30 ^
|
**CHAPITRE 3 - Nombres complexes** \\
I - Le corps C des complexes
* Définition : partie réelle et imaginaire
* Propriétés des Re et Im
* Conjugué d'un complexe : inverse d'un complexe
* Module d'un complexe
* Propriétés, inégalité triangulaire
* Exponentielle complexe : repérage sur le cercle
|
**CHAPITRE 3 - Nombres complexes** \\
* Relation fondamentale : e^{i\theta} = \cos(\theta)+i \sin(\theta)
* Propriétés des exponentielles complexes
* Formule de Moivre, Formules d'Euler
* Exemple de formule trigonométrique
* Forme exponentielle/trigonométrique d'un complexe
* Exemples
* Valeurs des cos et sin remarquables
II - Equations dans C
* Formule du Binôme
* Formule a^n - b^n
|
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 2.1, 2.2, 2.7
|
**Exercices Chap. 3 - Nombres complexes** \\ \\
Exercices 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7
|
===== Semaine du 24/09/12 =====
^ Lundi 24/09 \\ 08h-10h ^ Mardi 25/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 26/09 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 28/09 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement** \\
III - Propriétés des coefficients binomiaux
* Formule de symétrie
* Formule de récurrence
* Formule de Pascal
* Formation du Triangle de Pascal
* Formule de Vandermonde
* Formule du Binôme de Newton
* Cardinal de P(E)
|
**Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement** \\ \\
Exercices 2.6, 2.7, 2.8
|
**SOUTIEN L/ES** \\
**Introduction aux nombres complexes** \\
* Lectures sur le cercle trigonométrique
* Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique
* Cos et Sin particuliers
|
**Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement** \\ \\
Exercices 2.9, 2.10 \\ Montrer que \sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n 2^{n-1}
|
===== Semaine du 17/09/12 =====
^ Lundi 17/09 \\ 08h-10h ^ Mardi 18/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 19/09 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 20/09 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
|
**CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement** \\
I - Théorie des ensembles \Sigma
* Ensembles, éléments, appartenance
* Exemples usuels, notations
* Ensembles finis : cardinal
* Inclusion d'ensembles : propriétés
* Intersection et réunion d'ensembles
* Partitions d'un ensemble
* Formule du Crible
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**CHAPITRE 2 - Ensembles, dénombrement** \\
* Complémentaire d'une partie
* Produit cartésien d'ensembles
II - Dénombrement
* Dénombrement des p-listes
* Arrangements et permutations
* Combinaisons, coefficients binomiaux
* Formule explicite pour "p parmi n"
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**SOUTIEN L/ES** \\
**Introduction aux nombres complexes** \\
* Conjugué d'un nombre complexe
* Inverse d'un nombre complexe
* Calculs de produits et de fractions de complexes
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**Exercices Chap. 2 - Ensembles et dénombrement** \\ \\
Exercices 2.1, 2.2, 2.5 \\
Exo supp : grilles au loto \\
Exo supp : délégations d'une entreprise \\
|
===== Semaine du 10/09/12 =====
^ Lundi 10/09 \\ 08h-10h ^ Mardi 11/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 12/09 \\ 16h-17h30 ^ Vendredi 14/09 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^ Samedi 15/09 \\ 10h15-12h15 ^
|
**CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences** \\
III - Notation \Sigma
* Définition et propriétés
* Changements d'indices
* Sommes télescopiques
* Sommes classiques \Sigma k, \Sigma k^2, \Sigma k^3, \Sigma q^k
* Notation \Pi
* Factorielle d'un entier
|
**CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences** \\
IV - Suites classiques
* Suites arithmétiques
* Définition, forme explicite, somme des termes
* Suites géométriques
* Définition, forme explicite, somme des termes
* Suites arithmético-géométriques
* Méthode pour obtenir une forme explicite
**Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences** \\ \\
Exercice 1.9
|
**SOUTIEN L/ES** \\
**Introduction aux nombres complexes** \\
* Définition d'un nombre complexe
* Partie réelle et partie imaginaire
* Somme et produit de nombres complexes
|
**Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences** \\ \\
Exercice 1.4, 1.6, 1.8, 1.9
|
**DS1 (2h)** \\ \\
|
===== Semaine du 03/09/12 =====
^ Mardi 04/09 \\ 10h-12h ^ Mercredi 05/09 \\ 16h-18h ^ Vendredi 07/09 \\ 10h-11h30 \\ 15h-16h30 ^
| Présentation du cours |
**CHAPITRE 1 - Suites, sommes et récurrences** \\
I - Introduction aux suites
* Définitions : suite finie, suite infinie
* Différents types : explicite, récurrente, implicite
* Suites monotones : Introduction du \forall
* Suites majorées,minorées : Introduction du \exists
* Exemples
II - Raisonnement par récurrence
* Récurrence simple
* Récurrence double
* Exemples
|
**Exercices Chap. 1 - Sommes et récurrences** \\ \\
Exercices 1.1, 1.2, 1.5, 1.7
|